引用:

原帖由 nianzu 於 2014-4-17 12:17 PM 發表
請大家看看有沒有錯!!

第一題
猜最小值約在27附近

計算5:
利用ggb畫出包絡線的動畫

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-18 02:09 PM 發表
計算 5. 算出來是曲線 \( \sqrt{x} + \sqrt{y} =1 \) 和坐標軸圍成的區域

印象中這個曲線好像是"拋物線"~

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-18 10:09 PM 發表
是拋物線沒錯，Ellipse 兄太厲害了

我是用了微分找固定 \( x \)，軌跡中 \( y \) 的最大值，一言以蔽之就是暴力找出邊界曲線的函數

令 \( y = (1-t)(1-\frac{x}{t}) \)，則 \( \frac{dy}{dt} = \frac{x-t^{2}}{t^{2}} \)

...

寸絲過獎了~
我提供自己的做法,但不夠嚴
假設所求曲線為T,A(t,0) ,B(0,1-t)
一開始A在(0,0) ,B在(0,1) 此時 AB在y軸上為T的切線--------(1)
最後A在(1,0) ,B在(0,0) 此時 AB在x軸上為T的切線----------(2)
而一般拋物線利用摺紙方式出現的包絡線就如這題
(但看到這題包絡線就推論曲線是拋物線需要證明)
先大膽假設曲線是拋物線,由(1)&(2)互相垂直
知兩切線的交點(0,0)必在準線上
由曲線對稱性知準線為L:x+y=0,頂點為(1/4,1/4),則焦點F為(1/2,1/2)
(頂點為x-y=0與x/(1/2) + y/ (1/2)=1 的交點)
假設P(x,y)為T上任一點,由拋物線定義: PF=d(p,L)
(x-1/2)^2+(y-1/2)^2 =|x+y| /2^0.5
整理得x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0
x^2-2xy+y^2-2x+2y+1=4y
(x-y-1)^2=4y ,取 x-y-1= -2y^0.5
x=1-2y^0.5+y=(1-y^0.5)^2
取x^0.5=1-y^0.5
得T為x^0.5+y^0.5=1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-19 12:39 AM 編輯 ]

繼續上一篇:
若是小弟我在當時考試算到T為x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0
也無法馬上化簡到x^0.5+y^0.5=1
可能考慮坐標轉換成如圖所示
OC為舊坐標的y軸 ,OD為舊坐標的x軸
新坐標的拋物線為y^2=2^0.5(x-2^0.5/4)   [可改成x=(y^2+1/2) / 2^0.5]
C點為(2^0.5/2 ,2^0.5/2)
D點為(2^0.5/2 ,-2^0.5/2)
所求紅色區域面積為
2* ∫{0 to 2^0.5/2}    [(y^2+1/2) / 2^0.5  - y ]  dy
=2(1/12 +1/4 -1/4)
=1/6

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-19 10:25 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-18 05:27 PM 發表

這題是截距和為 1，圖形如下

這種題目若是
x軸,y軸沒有互相垂直,但截距和為 1
畫出來的曲線也應該是"拋物線"

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-19 10:32 AM 編輯 ]