如附件這題我覺得有點像93年的學測題，但我做到後面卡住了，所以想請教老師們是不是我方法用錯，或是漏了哪一個性質。

縱坐標是 \(y\) 坐標，

若令 \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\)

則 \(\displaystyle\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{15}{2}\)

\(\Rightarrow y_1+y_2=15\)

所求＝\(15+2\times3=21.\)

若題目真的把 "縱坐標" 改成 "橫坐標"

可由 \(x_1^2=12y_1\) 與 \(x_2^2=12y_2\)

兩式相減，搭配 \(\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{15}{2}\)

可得 直線 \(AB\) 斜率 \(\displaystyle=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5}{4}\)，

令 \(\displaystyle t=\frac{y_1+y_2}{2}\)

進而得直線方程式為 \(\displaystyle y-t=\frac{4}{3}\left(x-\frac{15}{2}\right)\)

將 \(\displaystyle y=\frac{1}{12}x^2\) 帶入，整理得 \(x^2-16x-12t+120=0\)

（因為直線與拋物線有兩交點）由判別式\(>0\)，可得 \(\displaystyle t>\frac{4}{3}\)

可得任意 \(\displaystyle t>\frac{4}{3}\) 對應之直線 \(\displaystyle y-t=\frac{4}{3}\left(x-\frac{15}{2}\right)\)　（平行直線系）

其與拋物線所截的（平行）弦的中點 \(x\) 坐標皆為 \(\displaystyle \frac{15}{2}\)

且 \(\displaystyle\overline{AF}+\overline{BF}=2t+6>\frac{26}{3}\)，即 \(\displaystyle\overline{AF}+\overline{BF}\) 的最大下界是 \(\displaystyle\frac{26}{3}\)

ps. 當 \(\displaystyle t=\frac{4}{3}\)，沒有弦，\(A\) 與 \(B\) 重合，是切點，上述中那條直線會是切線。\(\displaystyle\overline{AF}+\overline{BF}\) 沒有最小值。

不好意思，原來我把題目看錯了，感謝 weiye 老師兩種情況都解釋了。