第五題另解，

把 \(a_1, a_2, \cdots, a_{10}\) 由左至右依序排列，

把 \(40\) 個相同球放入 \(a_1, a_2, \cdots, a_{10}\) 所區隔開來的 \(11\) 個區域之中，

且 \(a_i\) 與 \(a_{i+1}\) 之間至少要放入 \(i-1\) 個球，

因此先在 \(a_i\) 與 \(a_{i+1}\) 之間先放入 \(i-1\) 個球 （\(\forall i=2,3,\cdots, 9\)），

剩下 \(40-\left(1+2+\cdots+8\right)=4\) 個球放入 \(11\) 的區域的方法有 \(H_4^{11}=1001\) 種。



對於每一種將 40 個球與 \(a_1, a_2,\cdots,a_{10}\) 排成一直線的方法，

由左至右看 \(a_i\) 排在第幾個位置，就對應到 \(a_i\) 的值是多少。

第六題：

所有環排數＝\(\displaystyle\frac{32!}{32}=31!\)

在所有環排情況中，相鄰兩人是一男一女的牽手總數＝\(\left(C^{15}_1C^{17}_1\cdot2!\right)\cdot30!\)

所求期望值＝平均每一環排當中相鄰兩人是一男一女的牽手數＝\(\displaystyle\frac{\left(C^{15}_1C^{17}_1\cdot2!\right)\cdot30!}{31!}=\frac{510}{31}\)


ps.　另外還可以知道下列的訊息：

　　所有環排中，相鄰兩人是兩男的牽手總數＝\(\left(C^{15}_2\cdot2!\right)\cdot30!\)

　　所有環排中，相鄰兩人是兩女的牽手總數＝\(\left(C^{17}_2\cdot2!\right)\cdot30!\)

　　所有環排的牽手總數＝（所有環排中，相鄰兩人是一男一女的牽手總數）＋（所有環排中，相鄰兩人是兩男的牽手總數）＋（所有環排中，相鄰兩人是兩女的牽手總數）

　　即 \(31!\cdot32 = \left(C^{15}_1C^{17}_1\cdot2!\right)\cdot30!+\left(C^{15}_2\cdot2!\right)\cdot30!+\left(C^{17}_2\cdot2!\right)\cdot30!\)