回復 8# Ellipse 的帖子
令 \(k=\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值
當 \(n=3\) 時,由之前的證明可知存在三實數 \(\alpha,\beta,\gamma\)
使得 \(a_1=\alpha, a_2=\beta, a_3=\gamma\) 滿足 \(a_1+a_2+a_3=0\)
\(\cos a_1+\cos a_2+\cos a_3=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{-3}{2}\)
當 \(n>3\) 且 \(n\) 為奇數時,因為可取
\(a_1=\alpha, a_2=\beta, a_3=\gamma\),\(a_i=-\pi,a_j=\pi\) 其中 \(i\) 為大於 \(3\) 的偶數,\(j\) 為大於 \(3\) 的奇數,
使得 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\) 且 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n=-\frac{3}{2}+\left(n-3\right)=\frac{3}{2}-n\)
可知 \(\displaystyle-n\leq k\leq \frac{3}{2}-n\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{k}{-n}=1\)