印象中,一些教師手冊裡會提到,如果轉移矩陣的各元皆正或某次方後皆正,則必收斂至穩態。
不過這個定理,的確很難證,以前讀過隨機過程的時候,是用了另一個更大的定理 Perron–Frobenius theorem。
其內容為:一個 \( n \) 階實方陣 \( A \),若 \( A \) 的各元非負 (有時記作 \( A \geq 0 \) ) 且 \( A^k >0 \) (各元皆正)
則方陣 \( A \) 有一個特徵值 \( \lambda_{pf} \),滿足
1. 其它特徵值 \( \lambda \) 皆滿足 \( |\lambda| < \lambda_{pf} \)
2. \( \lambda_{pf} \) 的代數重數為 1
3. \( \lambda_{pf}>0 \) ,且其對應之特徵向量(左、右)之各元皆正
套在轉移矩陣上,就是說 \( \lambda_{pf} =1 \),且其特徵向量(穩態)各元皆正,其它特徵任之絕對值 \( <1 \)
對角化,計算 \( A^n \),即得每一行皆收斂至穩態。