引用:
原帖由 wdemhueebhee 於 2013-7-2 08:44 PM 發表
證明1.
證明:對於所有正整數\(n\),\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (4-\frac{2}{k}) \)都是正整數。
[解答]
我只想到直接暴力乘開!! 也許有其他方法..
\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{4k-2}{k}=\frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \ldots (4n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}=2^n \times \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}\times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)} \)
\( \displaystyle =2^n \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots (2n)}{2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n)^2}=\frac{(2n)!}{n! \cdot n!}=C_n^{2n} \)