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計算3.
設實係數多項式 \( \displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2-a^2x \) (其中 \( \displaystyle a>0 \)) ，若 \( \displaystyle x=\alpha, \beta \) 時 \( \displaystyle f(x) \) 有極值，且\( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \)，求 \( \displaystyle b \) 的最大值。
解: \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)
\( \displaystyle \alpha, \beta \) 為 \( \displaystyle f '(x)=0 \) 之兩實根，即 \( \displaystyle ax^2+bx-a^2=0 \) 之兩實根，故有
\( \displaystyle b^2-4a(-a^2)\geq 0 \) ...(1)
\( \displaystyle \alpha+\beta=\frac{-b}{a} \) ...(2)
\( \displaystyle \alpha\beta=-a<0 \) ...(3)
再將 \( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \) 兩邊平方整理，得到
\( \displaystyle 4=(|{\alpha}|+|{\beta}|)^2=\alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta| \)
\( \displaystyle =\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\) by (3)
\( \displaystyle =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
\( \displaystyle =\frac{b^2}{a^2}-4(-a) \)
故 \( \displaystyle \frac{b^2}{a^2}+4a=4 \)，
而得到 \( b^2=(4-4a)a^2 \)
最後再利用微分或是算幾不等式得出 \( \displaystyle b \) 的最大值為 \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)。
[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-7-30 11:23 AM 編輯 ]
