6.
有一正三角形ABC，令D點為\( \overline{BC} \)邊上一點，則三角形ACD的內切圓半徑為三角形ABD內切圓半徑的兩倍，則請問\( \displaystyle \frac{\overline{BD}}{\overline{AB}}= \)？
[解答]
設正三角形ABC邊長為1，\( \overline{BD}=x \)，\( \overline{DC}=1-x \)
餘弦定理\( \overline{AD}=\sqrt{1^2+x^2-1 \cdot x \cdot cos 60^\circ}=\sqrt{x^2-x+1} \)
三角形ACD的內切圓半徑為\( 2r \)，三角形ABD內切圓半徑為r
\( \displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot (1+x+\overline{AD})\cdot r}{\frac{1}{2}\cdot (1+1-x+\overline{AD})\cdot 2r}=\frac{\Delta ABD}{\Delta ACD}=\frac{x}{1-x} \)
\( \displaystyle \frac{1+x+\sqrt{x^2-x+1}}{2(2-x+\sqrt{x^2-x+1})}=\frac{x}{1-x} \)
平方展開整理後得\( 8x^4-7x^3-2x^2+x=0 \)
\( x(x-1)(8x^2+x-1)=0 \)，\( \displaystyle x=0,1,\frac{-1\pm \sqrt{33}}{16} \)
\( \displaystyle \frac{\overline{BD}}{\overline{AB}}=\frac{\sqrt{33}-1}{16} \)
圖形很像的類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=913&page=1#pid1930
102.6.15補充
感謝YAG提醒，第二行分母少個2
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1628&page=4#pid8520
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本帖最後由 bugmens 於 2013-6-15 09:33 PM 編輯 ]
