第4題

見 100文華代理填充9 Joy091 和 wieye 老師之解法。

看完後應可以有比較簡捷之做法，或者利用 \( 100x+y \equiv x+y \) (mod  99)

第 8 題，如圖 \( 2\pi^2 \) 不解釋

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2013-5-29 21:14

第 10 題，有點小遺憾，只有 (1) 是正確的，好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼

11 題. \( (x\pm\frac{1}{2})^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 在 \( x\leq0 \) 的部分就是 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 且 \( x\leq-\frac{1}{2} \) 之區域的平移。

而在 \( x\geq0 \) 的部分，則為 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 且 \( x\geq\frac{1}{2} \) 的平移。

故所求 \( =2\int_{\frac{1}{2}}^{1}\pi(1-x^{2})dx=\frac{5\pi}{12} \)。

12. 題. 令 \( t=1-\frac{1}{x} \), 則 \( dt=\frac{1}{x^{2}}dx \)

13 題. 我也來個無視題目的另證

令 \( X\sim\text{Bin}(n,\frac{1}{2}) \)，則所求 \( =2^{n} \cdot EX^{2} =2^{n}\cdot(\mbox{Var}\, X+(EX)^{2})=2^{n}\cdot(\frac{n}{4}+(\frac{n}{2})^{2}) = n(n+1)2^{n-2} \)。

順帶補幾個類似題：

(100中壢高中) 試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \)。
weiye 解題

(100文華高中代理) 試求 \( C_{0}^{21}+\frac{1}{2}C_{1}^{21}+\frac{1}{3}C_{2}^{21}+\frac{1}{4}C_{3}^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21} \)。
weiye 解題

(99高雄市聯招) 試證 \( C_{2}^{2}C_{1}^{n}+C_{2}^{3}C_{2}^{n}+C_{2}^{4}C_{3}^{n}+\ldots+C_{2}^{n+1}C_{n}^{n}=n(n+3)2^{n-3} \)。
還是 weiye 解題

(99東山高中) 求 \( \sum\limits _{k=0}^{100}\left(x+\frac{k}{100}\right)^{2}C_{k}^{100}x^{k}(1-x)^{100-k} \) 之值。
依舊是 weiye 老師解題

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-7 02:05 PM 編輯 ]

部分答案，如有錯還請修正：
1. (1) 54  (2) \( \frac{22}{45} \) (感謝 thepiano 提醒筆誤)

2. (-2,-1,7) , (-2,6,-4) , (3,-1,-4)

3. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

4. \( \frac{1111}{14} \)

5. \( 2\sqrt{6} \)

6. (1) \( \begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix} \) (2) \( a_1 =3, b_1=-1 \)

7. (1) 3 (2) \( \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} , \pm\sqrt{3} \)

8-14 還是自己寫寫或找找吧，這邊只是討論區

如果每個人都怕自己的答案會算錯，不願意分享討論，那這邊就永遠不會有參考答案

論壇裡的每位老師也都會算錯，但不怕錯，因為錯在這，PO出來，有其他老師會幫忙修正

只要拋磚引玉地PO出自己的答案，相信其它人很願意和您互相參考、修正

真有不會的題目，直接PO發問文

然後該對自己有信心一點，數學裡對錯分明，當一名老師更要對自己所傳授的知識有信心，加油 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-24 09:07 AM 編輯 ]

對~我傻了，果然常常寫錯，馬上修正