第一題
AG//CD且CD=CF,所以AG=AE
同理AH=AF
又AE=AF, \( AE^2=AG \times AH=AE \times AH \)
所以AE=AH
故AG=AE=AF=AH
以A為心AG為半徑的圓過GEFH四點且GH是直徑
又IE垂直AE,那麼AI>AE, I在此圓外部,故角GIH為銳角
第二三題
先證一個引理
兩圓切於P,若A,B為其中一圓上兩點,PA和PB分別交另一圓於D,E,則AB//DE
證:過P作公切線利用弦切角可證
第二題
令PA交小圓於D,PB交小圓於E
那麼DE//AB
連接CE, \( \angle{ACP}=\angle{CEP} \)
\( \angle{PAC}=\angle{PDE}=\angle{PCE} \)
故三角形PAC和PCE相似
\( \angle{APC}=\angle{CPB} \)
第三題
(1)
連接EF,那麼EF//BC
\( \angle{ABD}=\angle{AEF}=\angle{ADF} \)
又\( \angle{BAD}=\angle{DAF} \)
故三角形ABD和ADF相似
\( \angle{ADB}=\angle{AFD} \)
故BC為切線
(2)
半徑比=\( AE:AB \)
所以 \( BE:BA=1:3 \)
又 \( BE \times BA=BD^2 \)
故 \( BE=2,BA=6 \)
\(\displaystyle AD=AB \times \frac{DF}{BD}=\sqrt{30} \)
