11. 偏微分被先用了，那就來個另解

令 \(A=\begin{bmatrix}1 & 28\\
1 & 29\\
1 & 30\\
1 & 31\\
1 & 32
\end{bmatrix}, b=[61  62  6  58  59]^T, x = [a  b]^T \)

則 \( A^{T}Ax=A^{T}b \)，其中 \( A^T \) 為 A 的轉置

透過平方公式 \( (30+k)^2 \) 和分配律 \( (30+k)(60+l) \)，計算上式之矩陣乘法得

\( \begin{bmatrix}5 & 150\\
150 & 4510
\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}300\\
8992
\end{bmatrix} \) 易解得 \( x = [84  -0.8]^T \)

7. \(  z^{5}-i=(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})(z-z_{4})(z-z_{5}) \)，

\( z=1+i \) 代入，取絕對值，得所求 \( =|-4-5i|=\sqrt{41} \) 。

填 13. \( f(x)=(x-1)^2 \cdot\frac{1}{1-(x-1)}=(x-1)^2\cdot(1+(x-1)+(x-1)^{2}+\ldots)=\sum\limits _{k=2}^{\infty}(x-1)^{k} \), for 0<|x-1|<1。
(筆誤：漏了平方，已補上)

故 \( f^{(5)}(1)=5! \), \( f^{(7)}(1)=7! \)，所求 \( =\frac{7!}{5!}=42 \) 。
(應該要用到泰勒展開式，以及此冪級數的唯一性)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 11:01 PM 編輯 ]

有四個等號，只有 \( a,b  \) 兩個自由變數，應該只能滿足兩個

所以，沒意外的話，根本是等號永遠不成立

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樓下的也太神了吧！令人讚嘆的解法！

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 08:34 AM 編輯 ]

令 \( \overline{DP} =x \), \( y = \overline{CQ} \) 則由 \( \triangle ADP \sim \triangle QCP \)，有

\( 1:x=y:(4-x)   \Rightarrow y=\frac{4-x}{x} \)。

面積和 \( \frac{1}{2}\left(x+(4-x)\cdot\frac{4-x}{x}\right)=x+\frac{8}{x}-4 \)。

由算幾不等式有 \(\frac{x+\frac{8}{x}}{2}\geq\sqrt{8}=2\sqrt{2} \Rightarrow x+\frac{8}{x}\geq4\sqrt{2} \)。

故 \( x=2\sqrt{2} \) 時，有最小值 \( 4\sqrt{2}-4 \)。