令 \( P(x) = (x-\alpha)(x-\beta) \)，由 \( P(x^2+4x-7) = 0 \) 有一根為 1 可得 \( \alpha = -2 \) 或 \( \beta =-2 \)

不失一般性，令 \( \alpha = -2 \)

又 \( P(x^{2}+4x-7)=(x^{2}+4x-7+2)(x^{2}+4x-7-\beta)=(x+5)(x-1)(x^{2}+4x-7-\beta) \) 有重根

因此此重根為 1 或 -5， 或者 \( x^{2}+4x-7-\beta=0 \)   有重根

因此得 \( \beta =-2 \) 或 \( -11 \)

故 \( P(5)=(5+2)^{2}=49 \)  或 \( (5+2)(5+11)=112 \)

第3題

以下的記號是 \( a = a_1 \), \( n = k \)

\( \frac{a+a+(n-1)}{2}\cdot n=2000\Rightarrow(2a+n-1)\cdot n=4000\)

\( \Rightarrow n\mid4000 \) 又 \( 2a=\frac{4000-(n^{2}-n)}{n}>0\Rightarrow n\leq63 \) 。

而 \( 4000=2^{5}\cdot5^{3} \) ，由 \( n\mid4000 \) 及 \( 2\leq n\leq63 \)，得 \( n \)  之可能有 \( 2,4,8,16,32,5,10,20,40,25,50 \) 。

但 \( 2a \)  為偶數可得 \( 2 , 4 , 8 , 16, 10 , 20 , 40, 50 \)  不合。 (這些 \( n \)  使得 \( \frac{4000}{n}-n+1= \) 偶- 偶+1= 奇)

故 \( (n,a)=(32,47) , (5,398) , (25,68) \) 。

第4題，方法是對的，應該只是計算錯誤而已

\( \vec{b} \times \vec{c} = (-1,2,-1) \)，故平面 E 之方程式為 \( x-2y+z=0 \)

點 \( P(1,5,7) \) 到平面之距離為 \( \frac{|1-10+7|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)

這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，

個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分

倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能

計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：

令 \( A(a,0)  , B(0,b) \)，其中 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，則有 \( P \) 之坐標可為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \) 或 \( (a-\frac{b}{2},\frac{b}{2}-a) \)。

1. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \)，可得 \( b=\frac{4x-2y}{3} \), \( a=\frac{4y-2x}{3} \)。

\( (\frac{4x-2y}{3})^{2}+(\frac{4y-2x}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}-32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。

注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的1-1 onto 映射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。

2. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}-b,\frac{b}{2}-a) \)，可得 \( b=-\frac{4x+2y}{3} \), \( a=-\frac{2x+4y}{3} \)。

\( (-\frac{2x+4y}{3})^{2}+(-\frac{4x+2y}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}+32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。

注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的對射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。

綜合以上，軌跡為 \( \{(x,y)\mid 20x^{2}\pm32xy+20y^{2}=9\} \)，其圖形為兩橢圓。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-18 07:22 PM 編輯 ]