(1)
q<p
pf: 若 \( q \geq p \) 則 左減右= \( q^3-p^2+p-1 \geq p^3 -p^2+p-1 =(p-1)(p^2+1) \neq 0 \)
(2)
因式分解 得 \( p(p-1) =(q-1)(q^2+q+1) \)
知 質數 \( p 整除 (q-1)(q^2+q+1) \) 且 p 不整除 (q-1) ,故 p 整除 \( (q^2+q+1) \)
令 \( q^2+q+1=k p \) ,其中 k 為正整數 ,得 (p-1)=k(q-1)
上行二式消p
得 \( \LARGE q^2+q+1= k^2 (q-1)+k \)
左右同除以 (q-1)
\( \frac{q^2+q+1}{q-1}= (q+2)+ \frac{3}{q-1} = k^2 + \frac{k}{q-1} \)
(3)
若令 \( k^2=q+ 2 \) 得 k=3 得 q=7 得 p=19 為一組解
(4)
以下證明 若 \( k^2 \neq q+2 \) 則 無解
(4.1)
若 \( k^2 \leq q+1 \) 則 \(\LARGE k^2(q-1)+k \) \( \leq k^2(q-1)+k^2 \leq (q+1)(q-1)+(q+1) = q^2 +q \) \( \LARGE < q^2+q+1 \) 不合
(4.2)
若 \( k^2 \geq q+3 \) 則 \( \LARGE k^2(q-1)+k \) \( \geq (q+3)(q-1)+3 = q^2 + q +q \) \( \LARGE > q^2+q+1\) 不合
其中 \( k^2 \geq q+3 \geq 2+3 \) 故 \( k \geq 3 \)
