先把橢圓拉長變成圓，再旋轉角度。 \( f:\, (x,y)\mapsto(x',y') \)

\( \begin{bmatrix}x'\\
y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0\\
0 & 2\sqrt{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\
y
\end{bmatrix} \)

\( M_{f}=\begin{bmatrix}2\cos\theta & -2\sqrt{2}\sin\theta\\
2\sin\theta & 2\sqrt{2}\cos\theta
\end{bmatrix}\Rightarrow\tan\theta=\sqrt{3}
,\cos\theta=\frac{1}{2}
, \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

所以 \( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)

10.
設\(\Gamma\)為以圓\((x-2)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為　　　，\(\Gamma\)的表面積為　　　
[解答]
請愛用 Pappus 定理

號稱甜甜圈專用定理

學科中心電子報 58 期 http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=58

代答一下
5. 從\( x,y \)的係數可知，寫成矩陣，是個轉移矩陣，轉移矩陣何持總和不變

11. 碰到函數在積分區域有瑕點時，這種積分是被當作瑕積分。所以說本題的積分記號意思是

\( \displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim\limits _{a\to0^{+},b\to0^{-}}\left(\int_{-2}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{a}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx\right) \)

計算沒有什麼問題，但多了一些不必要

1. (1)(2) 中，不需要算半面積、半周，半邊質心，直接這個圓就可以算了
2. 圓太對稱了，其實根本連算不都用算，就知道中心在哪。個人認為，這才是 Pappus 定理的精髓所在。如果利用了積分算中心，那其實做的工，就和一般方法計算旋轉體沒有什麼差別了(是否差個 Fubini 定理?)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-2-28 03:33 PM 編輯 ]