填充 3 紙老虎，看起來嚇人的題目而已

令 \( x_{k}, k=1,2,3,\ldots,101 \) 是 101 個正根

多項式 \( \prod(x-x_{i}) \) 展開的係數正負相間。\( x=-1 \) 代入，每項皆負，取絕對值得

\( \prod(x_{i}+1)=\sum_{k=0}^{101}|a_{k}|\Rightarrow\sum_{k=0}^{99}|a_{k}|=\prod(x_{i}+1)-203 \)

由算幾不等式得 \( \sqrt[101]{\prod(x_{i}+1)}\leq\frac{\sum x_{i}}{101}+1=3 \)

所以當 \( x_{i}=2 \) 時，\( \sum_{k=0}^{99}|a_{k}| 有最大值 3^{101}-203 \)

填充 4. 考慮 \( n \) 個數的情況，反正 \( 96 \) 和  \( n \) 沒什麼差別

令 \( c_{n} \) 是 \( n \)  個數的情況排法數

如果 \( n \) 在 \( a_{n} \) 的位置，就有 \( c_{n-1} \) 種排列

如果 \( n \) 在楚河漢界 \( a_{i} \)，那其它任選邊站，再按大小序排好即可，但不可全部在前，否則 \( i=n \) 不合

所以 \( c_n=c_{n-1}+2^{n-1}-1 \)

又 \( c_{2}=1 \), \( c_{3}=4 \Rightarrow c_{n}=1+(2^{2}-1)+(2^3-1)+\ldots+(2^{n-1}-)=2^{n}-(n+1) \)

故所求為 \( 2^{96} -97 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-8-5 09:19 AM 編輯 ]

前幾天正好在寫，給點計算題的提示好了

計算 1. \( P \in \triangle ABC \), 且 \( \triangle ABC \) 為銳角三形，則 \( \min\{\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\} \) 在外心的位置在最大值 \( R \)

所以只要證 \( R\leq 1\)

計算 2. 充要條件為 \( \overleftrightarrow{AH_{a}}\perp E_{BCD} \), \( \overleftrightarrow{BH_{b}}\perp E_{ACD} \), \( \overleftrightarrow{CH_{c}}\perp E_{ABD} \), \( \overleftrightarrow{DH_{d}}\perp E_{ABC} \)

三垂線定理及其逆定理

計算 3. \( x=\frac{a}{c} \), \( y=\frac{b}{c} \), \( \frac{b}{a}=\frac{y}{x} \) 是 \( (x,y) \) 和 原點 \( (0,0) \) 連線的斜率

以下都是之前寫的，沒有仔細再看一次，如有錯誤，還請告知。

填充1.不高明的方法如下
令 \( H , H_{1} , H_{2} \)  分別為 D  對 \( ABC \) , \( \overline{AB} \), \( \overline{AC}\) 之投影點。可得 \( \triangle AHH_{1}\cong\triangle AHH_{2} \)   (RHS)。
(紅字修正原筆誤，三垂線定理 \( \Rightarrow H_1, H_2 \) 處直角)

因此 \( \overline{AH} \) 平分 \( \angle BAC\Rightarrow\cos\angle BAH=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \) \( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos \angle BAH}\overline{AD} \) \(=\sqrt{5}\Rightarrow\overline{DH}=2 \) 。
(紅字修正原筆誤 \( \overline{AH} = .. \) )

令 \( Q \) 為 \( S_2 \) 的球心，\( R \) 為 \( S_2 \) 和平面 ABC 切點。則 \( 2 = \overline{DQ}+\overline{QR} \geq \overline{DR} \geq \overline{DH} =2 \)。等號成立條件為 \( R = H \) 且 \( D, Q, H \) 共線。
(補上三角不等式之論證)

又 \( D \) 為兩球之切點，因此 \( D, Q, S_{1} \) 之球心亦共線，因此 \( \overleftrightarrow{DH} \) 通過 \( D, Q, H \) 和 \( S_1 \) 的球心。

又 \( \overleftrightarrow{DH} \perp ABC \) 平面於 \( H \)，故 \( H \) 為 \( \triangle ABC \) 之外心。

因此 \( \overleftrightarrow{HH_{1}}
, \overleftrightarrow{HH_{2}} \)  為 \( \overline{AB}, \overline{AC} \)之中垂線，\( \Rightarrow \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)。

\( \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{27}{5}\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{5}\cdot2=\frac{18}{5} \) 。

填充2.  設所求方程式為 \( y^{2}=4cx \) ，則 \( F(c,0) \) 。與直線方程式聯立可得

\( 4x^{2}-(40+c)x+100=0\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{40+c}{4}\Rightarrow y_{1}+y_{2}=-c \) 。

由重心可得三頂點之坐標和 \( \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & =3c\\
y_{1}+y_{2}+y_{3} & =0
\end{cases}\Rightarrow x_{3}=\frac{11}{4}c-10
, y_{3}=c\Rightarrow c^{2}=11c^{2}-40c\Rightarrow c=4 \)  或 0  (不合)。

故所求 \( y^{2}=16x \) 。

填充 7. 這題很常見，只是要稍微平移一下

令 \( x=\tan\alpha+2 \) ，則 \( x+\log_{3}x=3\Rightarrow3-x=\log_{3}x \) ；

令 \( y=\tan\beta-1 \) ，則 \( y+1+3^{y}=4\Rightarrow3^{y}=3-y \) 。

由反函數圖形之對稱性得 \( x+y=3\Rightarrow\tan\alpha+\tan\beta=2 \) 。

填充 8. 連續 21  個數，頭尾必相等，因此間隔為 \( \{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\} \)  之數必相等。而 \( \gcd(268,20)=4\Rightarrow\{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\}=4\mathbb{Z} \)。

\( 17\equiv1   (mod 4), 210\equiv2  (mod 4 ), 83\equiv3  (mod 4 ), 144\equiv0  (mod 4 ) \)，所以 \( (3+4+9+x)\cdot5=75\Rightarrow x=-1 \) 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-24 09:24 AM 編輯 ]

不好意思，寫得有得糊...可能有些地方沒交待清楚

再加上有一點筆誤，自己看了一下，花點時間才看懂才做什麼

做法中，沒有用到"正四面體",，第二行有個筆誤是 \( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos\angle BAH} \)
(這裡用到三垂線定理)

還有第一行  \( H_2 \) 是 D 對 \( \overline{AC} \) 的投影點。

另外，論證球心在直線 DH 的地方是用到三角不等式等號成立。

第四行後方，應為 \( \angle BAH=\angle CAH\Rightarrow\triangle ABC \) 等腰，\( \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)
(稍後再編輯一些上面那篇)

第四行的地方，由三垂線定理知 \( \angle AH_1H = 90^\circ \)

所以 \( \overline{AH} \) 是斜邊，\( \overline{AH} = \overline{AH_1} \sec \angle BAH \)

不過我自己是覺得這樣做不是什麼好方法，當初回了，也是當拋磚引玉，看看是否有高手出來把它解決

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-31 11:36 AM 編輯 ]

#6 樓處，我的符號寫的不好，不要用 \( x, y \)，改用 \( a, b \)，符號比較不會混淆

令 \( P, Q \) 分別是 \( y = 3^x \) 和 \( y =\log_3 x \) 的函數圖形和 \( x+y =3 \) 的交點。

即 \( P, Q \) 坐標為 \( P(a,3^a), Q(b, \log_3 b) \)

注意 \( x+y = 3 \) 和 \( x=y \) 垂直，故 \( x+y=3 \) 亦對稱於 \( x=y \)。

又指對數函數圖形對稱於 \( x= y \)，故 \( P, Q \) 對稱於 \( x=y \Rightarrow 3^a = b\)

所以 \( a+b = a + 3^a = 3 \) (P在直線上)

當 \( n=3 \)
\( i=1, (3,1,2), (2,1,3) \)

\( i=2, (1,3,2), (2,3,1) \)

就是恰一個 > 其它都  < 的意思

絕對值中的各項若同號，則先加再絕對值與先絕對值再加的結果相同，例：
\(|-1-2-3-4-5-6-8-10|=|-1|+|-2|+|-3|+|-4|+|-5|+|-6|+|-8|+|-10|\)，

或者換個方式，單項各別處理，

因為 \( x_{i}>0 \), 所以 \( a_{k}:\begin{cases}
+ & \mbox{, if }k\mbox{ is odd;}\\
- & \mbox{, if }k\mbox{ is even.}
\end{cases}  \Rightarrow(-1)^{k}a_{k}=-|a_{k}|<0 \)，亦即前文所說正負相間
  
\( \prod\limits _{k=1}^{101}(-1-x_{i})=-1-202+\sum\limits _{k=0}^{99}(-1)^{k}a_{k}=-203-\sum\limits _{k=0}^{99}|a_{k}| \)

故 \( \sum\limits _{k=0}^{99}|a_{k}|=\prod\limits _{k=1}^{101}(1+x_{i})-203 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-1-28 08:59 PM 編輯 ]

跟共線沒關係，四面體的外接球的球心對其中一面的投影點，必為該面三頂點所形成的三角形之外心。

計算 1(2)
"b=cosθ+acosC"???? 題目給的條件是 " \( b \leq \cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta \)"，其中 \( \theta = \angle BAC \)。

你這麼一改，跟題目的條件完完全全不同了

還有根據正弦定理 \( R = \frac{1}{2\sin C} \)，所以需要論證的應是 \( \sin C \geq \frac12 \)，又 \( \angle C \) 是銳角，因此即為  \( \angle C \geq 30^\circ \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-9-29 07:01 PM 編輯 ]