第一題 令 \( p_n \) 為第 n 次取到白球的機率，前手上是白或紅，可得遞迴式：

\( p_{n+1}=\frac{1}{3}p_{n}+\frac{1}{2}(1-p_{n})=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}p_{n} \)

\( p_{0}=1, p_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}, p_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}, p_{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{9}=\frac{23}{54} \)。

\( P( 6th W \mid 3rd W)=p_{3}=\frac{23}{54} \) (Markov chain)


第六題 由參數式假設另兩點(不在 x 軸上) 的坐標為 \( (\pm a\cos\theta,b\sin\theta) \), 其中 \( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)

故等腰梯形之面積為 \( (2a+2a\cos\theta)\cdot b\sin\theta\cdot\frac{1}{2}=ab(1+\cos\theta)\sin\theta \)

利用二倍角公式可得 \( (1+\cos\theta)\sin\theta=2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\cdot2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=4\cos^{3}\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} \)

再由算幾不等式 \( \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\sin^{2}\frac{\theta}{2}}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{\cos^{6}\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta}{2}}{27}} \)

因此當 \( \frac{\theta}{2}=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ} \) 時，梯形面積有最大面積 \( 4\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2^{4}}ab=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-12-31 10:00 AM 編輯 ]

101 台中一中某題
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^5 = \sum_{k=1}^n\left(k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow (n+1)^5-1 = \sum_{k=1}^n 5k^4 + \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow 5\sum_{k=1}^nk^4 = (n+1)^5-1 - \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right ) \)

\( \displaystyle \Rightarrow \sum_{k=1}^nk^4 = \frac{(n+1)^5-1 - \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(10k^3+10k^2+5k+1 \right )}{5} \)

將 1,2,3 次的公式代入得 \( \displaystyle \sum_{k=1}^nk^4 = \frac{n^5}5 + \frac{n^4}2 + \frac{n^3}3 - \frac{n}{30} \)