第 2 題：

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}p&q\\ r&s\end{array}\right]\)，則

依題意可得 \(\displaystyle \displaystyle A^3=\left[\begin{array}{cc}3&-10\\ 2&-7\end{array}\right]\) 且 \(\displaystyle A^5=\left[\begin{array}{cc}7&-25\\ 5&-18\end{array}\right]\)

因為 \(\det(A^5)=-1\neq0\)，可知 \(A^5\) 為可逆矩陣，

因此，\(\displaystyle A=\left(A^3\right)^2\cdot \left(A^5\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3&-10\\ 2&-7\end{array}\right]^2\cdot\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}-18&25\\ -5&7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&-5\\ 1&-3\end{array}\right]\)

(依官方公布版題號)

第 3 題：解方程式 \(\cos 4\theta=\sin\theta\)，其中 \(0\leq\theta<2\pi\)。

解：

\(\cos 4\theta=\sin\theta\)

\(\displaystyle\Rightarrow\cos 4\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}-\theta+2k\pi\) 或 \(\displaystyle 4\theta = \theta-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \theta = \frac{(1+4k)\pi}{10}\) 或 \(\displaystyle \theta = \frac{(-1+4k)\pi}{6}\) ，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)

且因為 \(0\leq\theta<2\pi\)，所以 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{10},\frac{5\pi}{10},\frac{9\pi}{10},\frac{13\pi}{10},\frac{17\pi}{10},\frac{3\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\mbox{ 或 }\frac{11\pi}{6}\)