101復興高中

101 復興高中
例題:
是否能找出三個相異自然數，使得任意兩數之和被第三數除之所得的餘數均為1

解答:不失一般性，可以先假設    \(a < b < c\)
(1)
\(c|a + b - 1 \Rightarrow c \le a + b - 1\)

因為 \(b < c{\rm{,}}a < c \Rightarrow a + b - 1 < 2c - 1 < 2c\)

因為\(a+b-c\)是\(c\)的倍數。\(c \le a + b - 1 < 2c\),所以\(a + b - 1 = c\)

(2)
此三數\(a,b,a + b - 1\)

\(\eqalign{
  & b|(a) + (a + b - 1) - 1  \cr
  &  \Rightarrow b|2a + b - 2 \wedge b|b  \cr
  &  \Rightarrow b|{\rm{(}}2a + b - 2{\rm{)}} \times {\rm{(1)}} + (b) \times ( - 1)  \cr
  &  \Rightarrow b|2a - 2 \cr} \)

因為   \(b|2a - 2 \Rightarrow b \le 2a - 2\)

又\(a < b \Rightarrow 2a - 2 < 2b - 2 < 2b\)，

所以\(b \le 2a - 2 < 2b\)，因為\(2a - 2\)是\(b\)的倍數。

所以\(2a-2=b\)

(3)
此三數\(a,2a-2,3a-3\)

\(\eqalign{
  & a|(2a - 2) + (3a - 3) - 1  \cr
  &  \Rightarrow a|5a - 6  \cr
  &  \Rightarrow a|6  \cr
  &  \Rightarrow a = 1,2,3,6 \cr} \)

代回去檢驗，發現\(a=1\)不合。

另外三組算出來的三組數據分別是
\(2,2,3 \)            \(3,4,6 \)      \( 6,10,15\)
答案  \(3,4,6 \)      \( 6,10,15\)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:11 PM 編輯 ]