101中正預校

證明2
先將欲證之式整理一下
\(\displaystyle OB^2-OA^2=OA \cdot AD-OB \cdot BC+AB \cdot CD \)

\(\displaystyle OB(OB+BC)=OA(OA+AD)+AB \cdot CD \)

\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OD+AB \cdot CD \)

作輔助線在 \( OD \) 的延長線上取 \( E \) 使得 \( \angle{DCE}=\angle{AOB} \)
那麼 \( \Delta AOB \sim \Delta DCE (AA) \)
\(\displaystyle \frac{OA}{CD}=\frac{AB}{DE} \)

\(\displaystyle AB \cdot CD=OA \cdot DE \)

又\( \Delta AOB \sim \Delta COE (AA) \)
\(\displaystyle \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OE} \)

\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OE \)


於是
\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot (OD+DE)=OA \cdot OD+OA \cdot DE=OA \cdot OD+AB \cdot CD \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-9 04:54 PM 編輯 ]