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填充 4. 兩邊同時對 \( y \) 偏微得
\( f'(x+y) = 2 f(x) f'(y) \), \( y=0 \) 代入得
\( f'(x) = 2f(x) f'(0) = 4f(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)
再來補充個類題,把原題取個 log 就很像下面的類題了
100 中壢高中1招填充 8. 設 \(f,\, g \) 為可微分函數, 且 \( f(x+2y)=f(x)+g(y) \), \( \forall x,\, y\in R \). 試問:若 \( f(0)=1 \), \( f'(0)=2 \), 求 \(g(5) \).
看到這個類題後,聯想到第一次看到這個題型時,條件其實給的比較少:微分的條件,只要求 \( f \) 在 0 處可微,但從這個條件可以推出其它地方也可以微
不過,對於填充題的作答是沒什麼影響,如果是計算題就要小心條件了
現在把條件弱化一下,改成「 \( f(x+y)=2f(x)f(y) \) 對任意實數 \(x, y\) 且 \( f(0)>0,\, f'(0)=2 \)」
也就是可微函數的條件和函數皆正被拿掉了,但我們還是可以小心地處理
令 \( x=y=0 \) 代入解得 \( f(0) = \frac12 \)
若 \( y \neq 0 \), 則 \( \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{2f(x)f(y)-f(x)}{y}=2f(x)\cdot\frac{f(y)-\frac{1}{2}}{y} \)
取極限\( y \to 0\), 得 \( f'(x) \) 存在且 \( f'(x) = 2f(x)f'(0) \)
現在只差把 \( f(x) \) 除過去,就結束了,所以需要 \( f(x) \neq 0\)
若 \( 0 = f(x)=2(f(\frac{x}{2}))^{2} \),也就是說 \( f(x) = 0 \Rightarrow f(\frac x2) =0 \Rightarrow f(\frac{x}{2^{n}}) = 0 \)
\( n \to \infty \) 又 0 點處連續(可微必連續) 得 \( f(0) = 0 \) 矛盾,所以 \( f(x) \neq 0 \)
所以即使把條件弱化到只有 0 處局部的訊息,還是一樣的結果 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)
更甚者,可以直接把 \(f\) 算出來 \( f(x) = \frac{1}{2} e^{f'(0)x} \), 其實就是解微分方程