晚剛有去考，提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC，圓的半徑為r,p為圓上任意點，求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值？

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2012-5-23 22:39

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2012-5-23 21:54

101.5.24版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 55分
取10名參加複試，錄取1名
72,71,66,62,62,59,58,56,56,55

其他，
50~54分 7人
40~49分 18人
30~39分 22人
20~29分 17人
10~19分 8人
0~9分   1人
缺考    4人

共計 87 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-24 08:31 PM 編輯 ]

sin那題，nysml考題，101那本P.146頁，答案2^(-89/2)

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 09:22 PM 發表
晚剛有去考，提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC，圓的半徑為r,p為圓上任意點，求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值？ ...

#2
轉成複數平面
令A:x1=r(cos0°+i*sin0°) ,B:x2=r((cos120°+i*sin120°),C:x3=r(cos240°+i*sin240°),
   P:w=r(cosθ+i*sinθ)
則x1,x2,x3為x^3=r^3的解,(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=x^3-r^3------------(*)
將w代入(*)得 (w-x1)*(w-x2)*(w-x3)=w^3-r^3=r^3[cos(3θ)-1 +i*sin(3θ)]
取絕對值則
|(w-x1)|*|(w-x2)|*|(w-x3)|
=PA*PB*PC
=r^3*{ [cos(3θ)-1]^2+[sin(3θ)]^2 }^0.5
=r^3*[2-2cos(3θ)]^0.5
<=r^3*[2-2(-1)]^0.5
=2*r^3為最大值

註:當θ=60°,180°,300°時,所求有最大值


110.5.25補充
已知一單位圓圓\(O\)，且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點，則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何？
(110竹科實中，https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)

引用:

原帖由 rudin 於 2012-5-23 09:49 PM 發表
sin那題，nysml考題，101那本P.146頁，答案2^(-89/2)

這題作法
跟PA*PB*PC那題的技巧相同~

我是座標化，把三個點標出直角座標，p點用圓的參數式寫，在利用點跟點的距離公式，三個式子硬乘開，化簡後。式子簡化很多，也有証明出来。

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 10:17 PM 發表
我是座標化，把三個點標出直角座標，p點用圓的參數式寫，在利用點跟點的距離公式，三個式子硬乘開，化簡後。式子簡化很多，也有証明出来。

用複數平面來做,應該會比較精簡

沒錯，你的算式真的精簡很多，有時候在考場做題目就是一個念頭。我當下還是選擇穩扎穩打。好在十分有拿到。今天晚上有八十七個人考。作答的答案紙，題號跟作答範圍都劃範圍框框劃好了。計算過程沒有控制好，很容易就超出範圍，寫到答案紙的邊邊了。

計算題第一題，((根號5)+2)^101=m+n(根號5），請說明m,n是偶數還是奇數.(5分）

補完計算 1
(1) \(  (\sqrt{5} +2)^{101} =m + n \sqrt{5} \), \( m,  n \) 整數，請說明 \( m, n\) 是偶數還是奇數

(2) \( h = (\sqrt{5} +2)^{101} = a + k \) ，其中 \( a \) 為正整數且 \( 0 < k <1 \)，求 \( hk \)

再補一題

\( F \) 為橢圓 \( \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{72} =1 \) 之右焦點， \( A(1,3) \), \( P \) 在橢圓上，

求 \( \overline{PF} + \overline{PA} \) 的最大最小值


再補一題...印象中好像是有兩種郵資的郵票  5 元和 12 元各無限多張，

求最大的正整數 \( n \) ， 使得無法湊出 \( n \) 元郵資

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-25 08:56 AM 編輯 ]

三角形三高共點，在考試時候想了好久，真的不知道如何下筆