感謝寸絲兄指點，我把後面寫法補完
第八題
將方程式同乘 \(x\) 則有\(C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x=0\) (\(x=0\)) 不為根
再同補上 \(x^n+1\) 得 \(x^n+C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x+1=x^n+1\)
整理 \((x+1)^n=x^n+1\)
可令 \( g(x)=(x+1)^n-x^n-1 \)若 \( x=a \)為 \( f(x) \) 的重根，那 \( x=a \) 必為 \( g(x) \) 的重根
則有\( g(a)=g'(a)=0 \)
\(g(a)=(a+1)^{n}-a^{n}-1\)，\(g'(a)=n(a+1)^{n-1}-na^{n-1}\) 推得
1.\(g(a)-\frac{a}{n} g'(a)=(a+1)^{n-1}-1=0\)
2.\(g(a)-\frac{a+1}{n} g'(a)=a^{n-1}-1=0\)
所以\(a\)為\((x+1)^{n-1}=x^{n-1}=1\)的根，在複數平面上畫出\(|x+1| =| x|=1\)
找出交點代回 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \( ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1 \)
故6為\(n-1\)的因數
[ 本帖最後由 basess8 於 2012-5-23 11:38 PM 編輯 ]
