幫朋友解完第 5 題順便放上來~~

（聽他說，今年的彰中也有出一題類似題。）


第 5 題：

\(\displaystyle x_{k + 1}^2 = \left( x_k\left( x_k + 1 \right)\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow x_{k + 1} = x_k\left( x_k + 1 \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_{k + 1}} = \frac{1}{x_k\left( x_k + 1\right)} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_k + 1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_k + 1} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_{k + 1}}\)


因為

\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1}\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right) + \left( \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_3} \right) +  \cdots  + \left( \frac{1}{x_{202}} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)

\(\displaystyle < \frac{1}{x_1} - 0\)

\(\displaystyle = \frac{4}{3} < 2\)


且


\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1}\)

\(\displaystyle > \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + 0 + 0 +  \cdots  + 0\)

\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{3}{4} + 1} + \frac{1}{\frac{3}{4} \times \left( \frac{3}{4} + 1 \right) + 1}\)

\(\displaystyle = \frac{260}{259} > 1\)

因此，

\(\displaystyle \left[\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1} \right] = 1\)

直接解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}y=\frac{1}{x}\\ y+1=\tan15^\circ\left(x+1\right)\end{array}\right.\) 與 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}y=\frac{1}{x}\\ y+1=\tan75^\circ\left(x+1\right)\end{array}\right.\)

填充第7題第2小題，我覺得我的作法也是硬展開～等待網友更漂亮的作法～：Ｐ

哈，感謝寸絲老師，我真的是小錯超多，哈~~

馬上來改正寫錯的極式，感謝！：Ｄ

ps. 行列式展開結果相同啦，哈。

　 你的解法真是塊寶玉！：Ｄ

第 1 題第 3 小題：

設 \(\vec{OP}\) 與 \(\vec{OC}\) 夾角為 \(\theta\)，則 \(\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \theta =1\)

\(\Rightarrow \theta=45^\circ\) 或 \(\theta = 135^\circ\)

且因為 \(P\) 為四面體 \(O-ABC\) 內部一點，所以 \(0^\circ<\theta<90^\circ\)

\(\Rightarrow \theta=45^\circ\)

註：把 \(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\) 分別看做是正向 \(x,y,z\) 軸上的非零向量，

　　就會發現 \(\left(\cos45^\circ, \cos60^\circ, \cos\theta\right)\) 是一組「方向餘弦」。

第一題 第二小題：

設 \(O\) 為原點， \(A,B,C\) 在正向 \(x,y,z\) 軸上，

令 \(P\left(a,b,c\right)\)，

則 \(\sqrt{b^2+c^2}=4, \sqrt{a^2+c^2}=5, \sqrt{a^2+b^2}=6\)

得 \(\displaystyle\overline{OP}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{\frac{4^2+5^2+6^2}{2}}=\frac{\sqrt{154}}{2}\)