官方剛剛公布的試題與答案，如附件。

填充第 13 題：

\(\angle OQP=\angle AQO=\angle QAO=\theta\) 且 \(\angle QOP=2\theta\)

\(\Rightarrow \angle OPQ=180^\circ-3\theta\)

在 \(\triangle OQP\) 中，由正弦定理，可得

\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\sin\theta}=\frac{\overline{OQ}}{\sin\left(180^\circ-3\theta\right)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{OP}=\frac{r}{3-4\sin^2\theta}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AP}=r+\frac{r}{3-4\sin^2\theta}\)

當 \(\theta\to0\) 時，\(\displaystyle\overline{AP}\to r+\frac{r}{3}=\frac{4r}{3}\) 且 \(\displaystyle\overline{BP}= \overline{AB}-\overline{AP}\to\frac{2r}{3}\)

因此，\(\overline{AP}:\overline{BP}\) 將會趨近於 \(\displaystyle\frac{4r}{3}:\frac{2r}{3}=2:1\)

填充第 12 題：


\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{x}\Rightarrow y\,'=-\frac{\sqrt{3}}{x^2}\)

過 \(P\) 之切線方程式：\(\displaystyle y-\frac{\sqrt{3}}{t}=-\frac{\sqrt{3}}{t^2}\left(x-t\right)\Rightarrow A(2t,0)\)

過 \(P\) 之法線方程式：\(\displaystyle y-\frac{\sqrt{3}}{t}=\frac{t^2}{\sqrt{3}}\left(x-t\right)\Rightarrow B(t-\frac{3}{t^3},0)\)

因為 \(t>0\)，所以

\(\displaystyle \overline{AB}=t+\frac{3}{t^3}=\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{3}{t^3}\geq4\sqrt[4]{\left(\frac{t}{3}\right)^3\cdot\frac{3}{t^3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)