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也來補一個解法，基本精神是大同小異的，只是選擇對 ! 遞降
設 \( n \) 為正整數，\( a, b\) 分別為 \( n \) 除以 \( 7 \) 之商和餘。
對所有正整數 \( n \)，定義 \( p_{n}=\left(\prod\limits _{k=1}^{n}k\right)/\left(\prod\limits _{k=1}^{\left[\frac{n}{7}\right]}7k\right) \)，則有性質：「 \( p_n \equiv (-1)^a \times b! (Mod 7)\)」和 「\( n! = p_n \times(7^a\cdot a!) \)」
(證明要用到 \( 6! \equiv -1 \) (Mod 7))
則 \( \displaystyle C_{1234}^{2008}=\frac{2008!}{1234!774!}=\frac{p_{2008}\cdot7^{286}\cdot286!}{p_{1234}\cdot7^{176}\cdot176!\cdot p_{774}\cdot7^{110}\cdot110!}=\frac{p_{2008}\cdot286!}{p_{1234}\cdot176!\cdot p_{774}\cdot110!}=\ldots=\frac{p_{2008}p_{286}p_{40}p_{5}}{p_{1234}p_{176}p_{25}p_{3}p_{774}p_{110}p_{15}p_{2}} \)
再利用同餘則得 \( \displaystyle C_{1234}^{2008} = \frac{p_{2008}p_{286}p_{40}p_{5}}{p_{1234}p_{176}p_{25}p_{3}p_{774}p_{110}p_{15}p_{2}}\equiv\frac{6!\cdot6!\cdot(-5!)\cdot1}{2!\cdot(-1!)\cdot(-4!)\cdot3!\cdot4!\cdot(-5!)\cdot1!\cdot2!}\equiv6 (Mod 7) \)
