填充題感覺上有很多都是高中數學競賽題，無聊去翻了一下，才發現
題充一，95年台中區筆試二第一題；
題充二，95年高屏區筆試二第三題；
題充六，95年台中區筆試一第一題；
題充七，95年台中區筆試一第二題；
題充八，95年高屏區筆試一第三題；
這......是出題老師正好做到95年份的嗎??
還有幾題也應該都在高中競賽裡面出現過。
比較想說的是填充八，原題是
設\( a \)為正整數，\( x \)為實數且滿足\( 1 \le x \le a \)，試求滿足方程式
\(\displaystyle 2x^2-[2x^2]=2(x-[x])^2 \)的解，其個數有多少?
(註表示不大於\( b \)的最大整數)。
這題參考解答給錯了，中科的出題者也有發現，所以改成求\( 1 \le x <2 \)的解，
如果犯跟高屏區相同的錯誤，就會寫出4個。
我的作法是:
令\( [x]=n \)，那麼\( x=n+\alpha \)
\( 2x^2=2n^2+4n\alpha+2\alpha^2 \)
再設\( M=[2x^2] \)
就要滿足\( 2n^2+4n\alpha+2\alpha^2-M=2\alpha^2 \)
\( 4n\alpha=M-2n^2 \in Z \)
但是\( 2\alpha^2=2x^2-[2x^2]<1 \)
所以在\( 1 \le x <2 \)只有\(\displaystyle \frac{4}{4},\frac{5}{4},\frac{6}{4} \)滿足。
至於一般情況，我用excel算了一下，發現沒啥規則，
或許這是個科展的好題目，但是我想那不是我能夠掌握的東西。
[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-13 09:08 AM 編輯 ]
