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101中科實中(含計算1)

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-4-7 10:28 PM 發表
題目分配總數:一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題

982

如圖,滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \) ...
填充15
右圖中,\(P\)為三角形\(ABC\)內部一點,已知\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=2012 \),試求\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times \frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}= \)   
[解答]
假設三角形PBC面積為a,PCA面積為b,PAB面積為c
依題意及三角形相似性質得(b+c)/a +(c+a)/b+(a+b)/c=2012
所求=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
=[(b+c)/b][(c+a)/c][(a+b)/a]
=(1+c/b)(1+a/c)(1+b/a)
=(1+c/b+a/c+a/b)(1+b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+(c/b)(b/a)+(a/c)(b/a)+(a/b)(b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+c/a+b/c+1
=2+(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=2+2012
=2014

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回復 2# tsusy 的帖子

那題多項式f(x),會是求a_44 嗎?
很明顯a_44=1

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-4-7 11:28 PM 發表
可能可以用生成函數做
不過我用多項式來處理
假設展開後一般項為 [11!/(a!b!c!d!e!)] *(1)^a*(x)^b*(x^2)^c*(x^3)^d*(x^4)^e
且a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6,其中a,b,c,d,e為非負整數.
可分(a,b,c,d,e)=(5,6,0,0,0) ,(6,4,1,0,0) ,(7,2,2,0,0) ,(8,0,3,0,0) ,(7,3,0,1,0) ,(8,1,1,1,0) ,(9,0,0,2,0) ,(8,2,0,0,1),(9,0,1,0,1)共九組
所求係數
=11!/(5!*6!) +11!/(6!*4!) +11!/(7!*2!*2!)+11!/(8!*3!)+11!/(7!*3!)+11!/8!+11!/(9!*2!)+11!/(8!*2!)+11!/9!
=7887

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引用:
原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第i號球有i個,取一球後放回,記錄其號碼與n之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的n=?
   (題目大概記的是這樣),

選擇10: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: ...
選擇第10題
求值:\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ}= \)?
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) (C)\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{5} \) (D)\( \displaystyle \frac{3}{4} \) (E)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)。
[解答]
\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{cos 20^{\circ}+1}{2}+\frac{cos 100^{\circ}+1}{2}-\frac{1}{2}\left[ cos(40^{\circ}-80^{\circ})-cos(40^{\circ}+80^{\circ}) \right] \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}+cos100^{\circ}-cos40^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-(cos80^{\circ}+cos40^{\circ})}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-2cos60^{\circ} \cdot cos 20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-cos20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{4} \)

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