請教兩題
(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG

(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標

謝謝

題目：(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG

解答：

　　

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2012-3-7 19:22

若將 \(F\) 與 \(\overline{DE}\) 的中點 \(I\) 連線，顯然 \(\overline{AB}//\overline{FI}\)

因此，\(\overline{FD}\) 與 \(\overline{AB}\) 的延長線會有交點，

　　

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2012-3-7 19:22

設 \(\overline{FD}\) 與 \(\overline{AB}\) 的延長線交於點 \(P\)，

　　

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2012-3-7 19:22

如上圖，用孟氏定理（式子就不詳列了）


可得 \(\overline{AB}=\overline{BP}\Rightarrow\overline{BP}=3\overline{BG}\)

　　

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2012-3-7 19:22

如上圖，用孟氏定理（式子就不詳列了）


可得 \(\overline{EH}:\overline{HG}=3:4.\)

註：另外也可以坐標化，或是用向量，也是好方法。

題目：(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標

分析：

設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\)，


　　

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2012-3-7 19:44

對於任意的動點 \(P\)，當 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓的交點上時，

\(\overline{PQ}\) 會有最小值為 「\(\overline{OP}-\mbox{圓的半徑}\)」。

因此只要先找拋物線上哪點距離圓心 \(O\) 最接近就可以了。




答案：

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2012-3-7 19:44

設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\)，

拋物線上動點 \(P(t^2, 2t)\)，其中 \(t\) 為實數，

\(\displaystyle \overline{OP}^2=(t^2-3)^2+(2t-0)^2=t^4-2t^2+9=\left(t^2-1\right)^2+8\)

因此，當 \(\displaystyle t^2=1\)，即 \(\displaystyle t=\pm1\) 時，

\(\overline{OP}\) 會有最小值為 \(2\sqrt{2}\)，

此時 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓 \((x–3)^2+y^2=1\) 的交點上，

亦會使得 \(\overline{PQ}\) 有最小值。

當然，已知 \(O,P\) 點坐標，也知道 \(\overline{OP}, \overline{OQ}\) 的長度，

就可以利用分點公式，得 \(Q\) 點坐標了。

謝謝瑋岳老師
第一題我沒想到用延長線
感激不盡

感謝瑋岳老師

小弟我也獲益良多^^