裝球問題

一個學弟問的題目，記錄問與答如下。

Q：一個大氣球內裝四顆大小相同的小汽球，設氣球為圓形，小氣球兩兩外切且與大氣球內切，若小氣球半徑\(=4\) 且不考慮氣球厚度，則大氣球的半徑為？

A：

想像一下一個正四面體，四個頂點為 \(A,B,C,D\)，稜長為 \(2r\)。

以 \(A,B,C,D\) 為球心，以 \(r\) 為半徑可以畫出四顆球，且此四球兩兩外切。

設此正四面體的外接球球心為 \(P\)，外接球半徑為 \(m\)（可以算出來跟 \(r\) 有關，不過我沒有背），

則以 \(P\) 為球心，以 \(m+r\) 為半徑，可以做出一個與前面四顆球都相切的大球。

結束。

102.12.12補充：感謝 bugmens 提供圖檔與 sketchup檔如附件。