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請教一題合成函數:f(x)=6x^2-6x-5,求所有滿足x=f(f(x))的實數x

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請教一題合成函數:f(x)=6x^2-6x-5,求所有滿足x=f(f(x))的實數x

已知 f(x)=6x^2-6x-5  試求所有滿足 x=f(f(x))的實數 x

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回復 1# catlee 的帖子

之前寫某份教甄好像有這題

那時候的寫法,令 \( y=6x^{2}-6x-5, x=6y^{2}-6y-5 \), 相減得 \( y-x=6(x-y)(x+y)-6(x-y) \).

\( \Rightarrow x=y 或 -1=6(x+y)-6\Rightarrow x+y=\frac{5}{6} \).

代回二次式解得 \( x=-\frac{1}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5\pm\sqrt{165}}{12}\).

方法 2, \( f(x)=x \) 的解,必為 \( x=f(f(x)) \)的解.

\( x=f(f(x))\Rightarrow216x^{4}-432x^{3}-180x^{2}+395x+175=0 \).

而 \( f(x)=x\Rightarrow6x^{2}-7x-5=0 \). 拿此去除四次式得 \( 216x^{4}-432x^{3}-180x^{2}+395x+175=(6x^{2}-7x-5)(36x^{2}-30x-35) \).

所以 \( x=-\frac{1}{2},\frac{5}{3},\frac{5\pm\sqrt{165}}{12} \).
文不成,武不就

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感恩!謝謝!

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