我原本想到的是用大學代數所學到的愛因斯坦判別法
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8 ... 4%E5%88%A5%E6%B3%95
整係數多項式\( f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0 \)
如果存在質數\( p \)，使得
\( p \)不整除\( a_n \)，但整除其他\( a_i \)
\( p^2 \)不整除\( a_0 \)，
那麼\( f(x) \)是不可約的。
但\( x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 \)的係數只有1或\( -1 \)找不到質數\( p \)符合愛因斯坦判別法
wiki也提到可以藉由變數代換，說不定就可以找到質數\( p \)
有時候不能直接用判別法，或者可以代入\( y = x + a \)後再使用。
例如考慮\( h(x) = x^2 + x + 2 \)。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把\( h(x) \)代入為\( h(x + 3) = x^2 + 7x + 14 \)，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但\( 7^2 = 49 \)不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。
我利用maxima來找\( y=x+a \)的\( a \)值。只是程式執行完沒有符合的\( a \)和\( p \)。
fx:x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1;
for a:-10000 thru 10000 do
(fx2:expand(ev(fx,x=x+a)),
coeffs:create_list(coeff(fx2,x,i),i,0,7),
p:lreduce(lambda([x,y], gcd(x,y)),coeffs),
if p#1 then
(print("x+",a,"p=",p))
);
接下來我又想到曾經在科學月刊看到游森棚教授寫的一篇文章
猜或不猜，
http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html
文章有\( x^{15}-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2+x+1)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8) \)的例子
和重要的關鍵字 分圓多項式(cyclotomic polynomial)
我再用cyclotomic polynomial去google搜尋，並加上irreducible關鍵字
出來就有很多證明，這已經超過我的程度了，就請你自行參閱了
https://www.google.com.tw/search ... 0.5.157._5LRjDnfqWI
