92南縣國中數學教甄第13題-整數解

已知\(\sqrt {2009}  = \sqrt x  + \sqrt y ,0 < x < y,\)求滿足此式的整數數對(x,y)有幾組?


懇請賜教 謝謝


100.8.24版主補充
原本題目為圖檔，將題目重新打字後放在附加檔案
需要OpenOffice或LibreOffice才能開啟
並移動主題至"高中的數學"

感謝美夢成真論壇someone提供解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2658

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-24 10:23 AM 編輯 ]

ksjeng你好,我是math pro版主bugmens

為了以後網友方便查詢過去的討論資料,有些建議還希望你多加配合
1.希望一篇文章就討論同一份試題
　將來網友在查詢時就不需要到處找散落的文章，也避免將來老是在問同一個題目

2.不一定要輸入題目,就算只寫題號也可以
　當然你會latex語法的話可以自行寫出題目，或用數學符號也可以√2009=√x+√y
　但不建議用外部的空間來放題目的圖檔，原因是你將來會考上教甄，但考上後或許就不會再回來論壇了
　你所留的這些圖檔將來被你刪除了或網站因各種因素更改網址或倒閉，以後的網友就看不到當初的內容

3.美夢成真論壇有更多的資料
　看你所問的問題應該是要準備國中數學，剛好最近someone有在分享一系列國中聯招的解答
　發問前查一下會比妳 重新輸入題目->轉成圖檔->上傳到flickr->論壇發文 來的有效率

　其實肯分享的網友都是佛心來著的，但有時候看到下載人數累積到數十到上百卻沒人回覆文章
　代表大家拿了好處就跑掉了，再怎麼有熱情的也會感覺被潑一盆冷水
　當然不是要你一篇一篇去回覆罐頭式的感謝分享，而是你可以針對疑問的部份再提出你的問題
　有良好的討論風氣才是論壇可長可久的關鍵


最後回到這個問題在這裡可以有解法及出處
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=664

首先,謝謝老師指導,教甄路上有貴人老師真好

一.我誤以為要按照貴網站的分類 如大學數學,高中數學之數與函數 ...
     故在標題上除了註明年度別與縣市別外,誤置入貴網站的分類
     原來,只要按照年度與縣市別的同一份試題即可,下次改進.

二.日後不再使用外部連結,原來有那麼多不適合外部連結的原因,懇請原諒我的無心之過,並即刻起修改成latex語法.

三.另外,再請教老師,我在進入全國教師會選聘網討論區
     卻遇到如下的問題
      ---------------------
      phpBB : Critical Error
     Error creating new session
     DEBUG MODE
     SQL Error : 145 Table './phpbb2/phpbb_sessions' is marked as crashed and should be repaired
    INSERT INTO phpbb_sessions (session_id, session_user_id, session_start, session_time, session_ip,      session_page, session_logged_in,
    session_admin) VALUES ('de9c83cf5191fe7c6a795854292ea260', -1, 1313924757, 1313924757, '722dfd27', 0, 0, 0)  

    Line : 172
    File : sessions.php
---------------------------------------      
    請問老師這要如何解決呢 是我的瀏覽器出了錯嗎 但bugmens老師給的連結中 全教會竟然可以連上 這是什麼原因啊
  
四.明年我考上正式老師, 一定會上來幫助考生.有bugmens老師的鼓勵,明年我一定能如願考上喔!


註:
這一題someone老師有寫,但我程度不夠與不夠細心,竟花四小時以上在想辦法以及搜尋找此題解法.
--------------
\(7\sqrt {41}  = \sqrt x  + \sqrt y ,x < y\) 所以只有三組解(1,6) (2,5) (3,4)
-----------
看了bugmens老師的連結才知原來someone老師的原意是:
\(7\sqrt {41}  = 1\sqrt {41}  + 6\sqrt {41}  = 2\sqrt {41}  + 5\sqrt {41}  = 3\sqrt {41}  + 4\sqrt {41} \)

求 \(cos \frac{\pi }{{2003}} + \cos \frac{{3\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{5\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2001\pi }}{{2003}} = ?\)

答:\(\frac{1}{2} \)
解法請益:
我的解法是利用以下的結果來解題,有邏輯繆誤之處嗎

因為
\(\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{{5\pi }}{7} = \frac{1}{2} \\
\cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} = - \frac{1}{2} \\
\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + ... + \cos \frac{{6\pi }}{7} + \cos \frac{{7\pi }}{7} = \frac{1}{2} + ( - \frac{1}{2}) + ( - 1) = - 1 \\
\end{array}\)

所以
\(\begin{array}{l}
  \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{2003}} + \cos \frac{{3\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{5\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2001\pi }}{{2003}} = \frac{1}{2} \\
  \Rightarrow \cos \frac{{2\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{4\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{6\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2002\pi }}{{2003}} = - \frac{1}{2} \\
  \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{2003}} + \cos \frac{{2\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{3\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2002\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{2003\pi }}{{2003}} = - 1 \\
\end{array}\)
懇請賜教 謝謝

論壇的分類比較適合在獨立的題目，但既然是出自同一份考題我比較建議是在同一篇發問

舊的論壇已經關閉了(94~95年資料)，所以會出現你所貼的錯誤訊息
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/　連結已失效
新的論壇還有開放(96~97年資料)，但僅供查詢
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24　連結已失效
98年之後的資料就要到math pro或是美夢成真論壇


至於第17題的解法可以在高中數學競賽教程P365找得到
你可以自行找書來看或者等其他網友解答，但我要講的重點是someone所寫的
"這可以慢慢導，但我用背的。這種形式都會是\( \displaystyle \frac{1}{2} \)"

為什麼他篤定答案一定是\( \displaystyle \frac{1}{2} \)？假如你有看過書的話，這其實是個公式。
m是自然數
\( \displaystyle cos \frac{\pi}{2m+1}-cos \frac{2 \pi}{2 m+1}+cos \frac{3 \pi}{2m+1}-....+(-1)^{m-1}cos \frac{m \pi}{2m+1}=\frac{1}{2} \)
假如我在考試看到這題的話只能花5秒鐘畫答案卡，答完就往下一題邁進。
從頭到尾我連計算都沒有，但我已經寫答案了。或許你覺得我很厲害
但我在事前花了更多時間把相關問題整理成筆記，叫做"三角函數的連加或連乘"
這個就是我對於這類題目的解題策略
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4239

96景美女中，98永仁高中，99文華高中代理，100松山工農，100桃園縣現職教師高中聯招，100全國高中聯招
考的是\( m=3 \)的情況
100基隆女中代理考的是\( m=5 \)的情況
當然也要提防題目的變化，有時候答案會是\( \displaystyle \frac{-1}{2} \)、+1或\( -1 \)，千萬不要聰明反被聰明誤

要你查書還有另一個原因，它的再下一題是cos的連乘
\( \displaystyle cos \frac{\pi}{2m+1} cos \frac{2 \pi}{2m+1} cos \frac{3 \pi}{2m+1}...cos \frac{m \pi}{2m+1}=\frac{1}{2^m} \)
最常考的是\( m=3 \)的情況，答案是\( \displaystyle \frac{1}{8} \)
在P363還有類似題叫做sin的連乘
n是大於1的自然數
\( \displaystyle sin \frac{\pi}{n} sin \frac{2 \pi}{n} ... sin \frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}} \)
http://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24
thepiano曾經發表過這題的解法，至於是哪篇就請你一篇一篇去找了


還有15題你也要背起來，但要注意有時題目會改成杯口朝下有幾個，小心別被騙到了

100.11.18補充
求\( \displaystyle \sum_{k=1}^9 (-1)^k cos \frac{k \pi}{19}= \)
(100師大附中，https://math.pro/db/thread-1100-1-1.html)

看到老師的回覆時,震撼好久!
原來,要考高分真的要下苦功.
謝謝您!我要努力,也要加油.
我會常上這個網站來做學問,
若最後問:杯口朝下有幾個?答案是90個
謝謝老師提醒!

以下是我翻高中自修書的整理
來搭配老師的提醒 三角函數的連乘
的確常出現高一各校段考試題中

\(\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}\cos \frac{{5\pi }}{7} = - \frac{1}{8} = \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7} \\
\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\cos \frac{{6\pi }}{7} = \frac{1}{8} \\
\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}..\cos \frac{{6\pi }}{7}\cos \frac{{7\pi }}{7} = \frac{1}{{64}} \\
\end{array}\)
\(\to \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{3\pi }}{7} = \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}[ - \cos \frac{{5\pi }}{7}] =-(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}\)

求\(2^{1001}\)的末兩位數字為(A)04 (B)52 (C)76 (D)88





解一：選擇題的估算猜選項方法

\(2^{1001}  - 2 = (2^4 )^{250}  \times 2 - 2 \equiv 0(\bmod 10) \to 2^{1001}  \equiv 2(\bmod 10) \to 2^{1001}  \equiv \{\otimes \}\times 10 + 2(\bmod 100)\to (B)52\)

解二：

\(2^{1001}  = (2^{12} )^{83}  \times 2^5  \equiv ( - 4)^{83}  \times 32 \equiv  - (4^6 )^{13}  \times (4^6 ) \times 8 \equiv  - ( - 4)^{13}  \times ( - 4) \times 8 \equiv  - 4^{14}  \times 8 \equiv  - 4^{15}  \times 2
\)
\(\equiv  - (4^6 )^2  \times 4^3  \times 2 \equiv  - ( - 4)^2  \times 4^3  \times 2 \equiv  - 4^5  \times 2 \equiv  - 48 \equiv 52(\bmod 100)\)


懇請老師指導如何使用二項式定理與費馬小定理解此題 謝謝

第22題
用1、2、3、…、9這九個數字去構造若干個質數，每個數字都要用，且只用一次，共有(A)0 (B)1 (C)2 (D)無線多組解法
答案 (A)

請教此題題目意思為何?
我看不懂題目
1-9都要用上 且能湊出一個數為質數的意思嗎
若是的話,要如何下手?九位數要如何討論較快?
在網路上我想找質數產生器丟入 可是無從下手啊

http://translate.google.com.tw/translate?hl=zh-TW&langpair=en%7Czh-TW&u=http://www.numberempire.com/primenumbers.php
98764321是質數 但沒有5

http://translate.google.com.tw/translate?hl=zh-TW&langpair=en%7Czh-TW&u=http://www.numberempire.com/primenumbers.php
98764321261 但沒有5

有辦法設計 迴圈 來測試嗎?

1+2+...+9=45是3的倍數
所以用1~9排出來的數必為3的倍數，不可能是質數

補個掛
以前我們是考用1,2,3,4,5(或是1,2,3,4,5,6)是否能排出完全平方數??

記得
24^2=76(mod100)
24^3=24(mod100)
這樣就很容易了