9. 集合S ＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、9｝，從S中取出四個不同的數字做成一個四位數，此四位數為99的倍數共有_________個。

答 : 48

假設此四位數為abcd，且令A=a+c，B=b+d  (不妨先假設A>=B)

則A-B=11或0，A+B=18或27
解聯立之後會發現只有一種可能 : A=B=9
(其餘解有的太大，有的不是整數)

9 = 1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5
因而找出以下6種可能 :
1287, 1386, 1485, 2376, 2475, 3465

再考慮a,c互換，b,d互換，A,B互換
推得共 6*2*2*2 = 48  個。



13. 甲乙丙丁4位同學代表班上參加為期2日的運動會，比賽項目有「100公尺短跑」「跳遠」「跳高」「趣味競賽」「馬拉松」，每位同學每日參加一項目的比賽，且2日參賽項目都不相同，若第1日不舉辦「趣味競賽」，第2日不舉辦「100公尺短跑」，其他項比賽每日皆舉辦1次且皆派1人代表參加，則有____________種參賽方法。

答 : 264

假設比賽項目為A,B,C,D,E
第一天比 A,B,C,E，第二天比B,C,D,E

首先，第一天的比賽共有 4! 種參賽方法

為方便討論，假設第一天的A項目由甲參加

在第二天的時候，
case1.
若甲參加D項目，則乙丙丁又是參加B,C,E，所以是三封信的”錯排”，有2*1*1=2種方法

case2.
若甲不參加D項目 (還有3種可能B,C,E)，例如甲參加了B項目
則乙丙丁參加C,D,E，
必須再討論第一天參加B項目的人今天參加什麼項目 :
case2-a 參加D，則剩餘兩人只剩1種參賽方式
case2-b 參加C或E，則剩餘兩人也是只剩1種參賽方式

所以第二天有1*2+3*(1*1+2*1)=11 種。

故這兩天有4!*11=264 種參賽方法。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-6 09:34 AM 編輯 ]

5. 由 1,2,3,.....,20 挑出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個數字, 且 \(x_1 <x_2<x_3\),
求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 3, \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 5 的機率?  答: \(\displaystyle \frac{91}{285}\)

所有可能為 :  \(C^{20}_3\)

假設 \(x_1\) 之前有 \(a\) 個數字， \(x_1\) 與 \(x_2\) 之間有 \(b\) 個數字， \(x_2\) 與 \(x_3\) 之間有 \(c\) 個數字，\(x_3\) 之後有 \(d\) 個數字

則 \(a\geq0,b\geq2,c\geq4,d\geq0\)  且 \(a+b+c+d=17\)

因此題目要求的狀況  與  \(a+b'+c'+d=11\) 的非負整數解組數一樣多，為 \(C^{11+3}_3\)

故所求機率 = \(\displaystyle \frac{C^{14}_3}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}\approx 0.318\)



使用 R 軟體模擬實驗，參考指令如下 :

n=10000
z=rep(0,n)
A=replicate(n,sample(1:20,3))
for(i in 1:n){
A[,i]=sort(A[,i])
if(A[3,i]-A[2,i]>=5 & A[2,i]-A[1,i]>=3) z[i]=1
}
sum(z)/n

詳見  https://math.pro/db/thread-51-1-1.html  的說明 !

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-13 11:25 AM 編輯 [/i]]