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100苑裡高中

引用:
原帖由 gamaisme 於 2011-7-7 09:50 PM 發表
請教一下填充4是否有較快的解法?
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)?

改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5

令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解

所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5

=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]

=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]

......(繼續降次方)

=5[y1+y2+y3]-12

=5*(-2)-12

=-22

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引用:
原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表
我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題
單選第一題
1.
有一道題目:「設\(\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}\),\(n \in N\),\(n>2\),求\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n\)之值」。而阿煌在解這一題時,所用的步驟(A)至(E)如下:\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n=\),請問阿煌的作法,從哪一步驟開始錯誤?
(A)\(\displaystyle =\omega^{1+2+3+\ldots+n}\) (B)\(\displaystyle =\omega^{\frac{n(n+1)}{2}}\) (C)\(\displaystyle =(\omega^n)^{\frac{n+1}{2}}\) (D)\(\displaystyle =1^{\frac{n+1}{2}}\) (E)\(=1\)。

棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 Herstein 於 2011-7-9 04:19 PM 發表

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題
#11
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)與雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時,則數對\((A,B)=\)   
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 ]

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