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二、計算題
3.
設\(\omega\)為\(x^3=1\)之一虛根，若無窮級數\(\displaystyle 1+\frac{1}{2}\omega+\frac{1}{4}\omega^2+\ldots+\frac{1}{2^n}\omega^n+\ldots\)之和為\(\alpha+\beta\omega\)，其中\(\alpha,\beta\)皆為實數，則數對\((\alpha,\beta)=\)？

這是寸絲整理的講義，我做到金門農工這題目。
第46題，公比為\(\frac{1}{2}w \)這是虛數，無法比較大小。
要無窮級數收斂，則公比要\( -1<r<1\)。
所以公比是虛數如何知道這個級數收斂

收斂的原因和實數時的 \( -1<r<1 \) 沒什麼不同

有限項的和寫下來，就會發現 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} r^n =0\) 就是無窮等比級數所需的收斂條件(實數、複數皆同)

對於複數 z，

幾何級數 1+z+z^2+z^3+...  收斂的條件是 |z|<1，

收斂的對象則是 1/(1-z)

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可進一步想想，當 z 為複數時，何以收斂條件會是 |z|<1，

若 z 不為 1，易得有限項的和為 (1-z^n)/(1-z)，

因此無限項若要收斂，必須 z^n 收斂，

再加上棣美弗定理可知 z^n = |z|^n (cos n*t + i sin n*t)，

其中 cos, sin 都是 bounded，所以只要 |z|<1，則 z^n 會收斂到 0.

另，發散條件 |z|>=1，

把它分成「|z|>1」、「|z|=1, z不等於1」以及「z=1」三者分別去想，

就會很容易瞭解何以發散。

請教第8題，謝謝！

8.
6男4女共10名學生擔任本周值日生，導師規定本周五個上課日中，每天要2名值日生，且每天至少一名男生，則本週安排值日生之方式共有　　　種。
[解答]
C6取2 * C5取1 * 4! * 4!