1.
試求聯立方程組\(\cases{sin^2x+cos^2y=y^2 \cr sin^2y+cos^2x=x^2}\)的所有實數對解\((x,y)\)。

2. \(n2^{n-1}+1\)為完全平方數，求\(n\)

2.
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2551

我還是認為第一題題目弄錯了
\(x^2\)和\(y^2\)要交換

那如果要交換  請問如何解 （sorry!!題目可能記錯了）

兩式相加得到\( x^2+y^2=2 \)
整組方程式對稱於x軸、y軸、x=y、x=-y
顯然y=0無解，
y=x得到解(1,1)，就有另外三組(1,-1),(-1,1),(-1,-1)
最後，考慮x>y>0
因為\( x^2+y^2=2 \)
所以\( x<\sqrt2<\frac{\pi}{2} \)
兩式相減得到
\( y^2-x^2=\cos{2y}-\cos{2x} \)
由我們假設的範圍知道
\( 0<2y<2x<\pi \)
cos函數在此嚴格遞減
所以\( \cos{2y}>\cos{2x} \)
但\( y^2-x^2<0 \)
所以這個部分無解
由對稱性知道其他也無解
故解僅有那四組

出處:97年高師大數學系推甄題

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2011-6-18 00:32