第 6 題:
因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓,
所以 \(\overline{CD}\) 為直徑,
\(\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}\)
因為 \(\angle FCE=90^\circ\)
所以 \(\overline{EF}\) 亦為圓 \(O\) 的直徑,
故, \(\displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.\)
第 18 題:
此正三角形邊長 \(=1+13+2=16\)
\(\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}\)
\(\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)\)
\(\Rightarrow \overline{AH}=3\)
\(\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6\)
令 \(\overline{CE}=x, \overline{BD}=y\)
由 \(\overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}\)
且 \(\overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}\)
可得 \(x(16-y)=14\) 且 \(y(16-x)=78\)
兩式相減,再以帶入消去法,
可解得 \(x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}\)
故,\(\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.\)
第 24 題
第 1 小題
如圖,先塗紅色區域,再塗藍色區域,
然後每兩個為一組塗色區域,
可得所求=\((5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7\)