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100中正高中
紫月
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發表於 2011-6-14 20:10
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計算4,我目前是想到利用座標化的方式。
假設AB= 2t (填充題可以直接假設2)
設拋物線交圓錐底面於DE,則DO = SO = t
將之轉成上拋拋物線並座標化,即開口向上拋物線,以原點為頂點,通過(t,t)
推得方程式: \( x^2 = ty \),故焦距 \( c = \frac{t}{4} \)
所以R點在SO上,且SR : SO = 1 : 4。
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本帖最後由 紫月 於 2011-6-14 08:11 PM 編輯
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紫月
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發表於 2011-6-14 21:48
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記算第7...不知道對不對,也不知道有沒有更快的方法....
假設BC=2R,\(\displaystyle \angle B = \theta \)
得 \(\displaystyle AB = 2Rcos\theta,AC= 2Rsin\theta,高 = 2Rsin\theta cos\theta,椎體底圓周長 S= 4\pi Rsin\theta cos\theta \)
由扇形面積 = \(\displaystyle \frac{1}{2} Rs,S_1 = \frac{1}{2}\times 4\pi R^2sin\theta cos\theta (sin\theta +cos\theta)\)
設內切圓半徑 = r ,由面積 = rs , 可推得 \(\displaystyle r = \frac{2Rsin\theta cos\theta}{1+sin\theta +cos\theta}\)
\(\displaystyle S_2 = \frac{4\pi R^2sin^2\theta cos^2\theta}{(1+sin\theta +cos\theta)^2}\)
\(\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{(sin\theta +cos\theta)(1+sin\theta +cos\theta)^2}{sin\theta cos\theta}\)
\(\displaystyle =2\times\frac{(sin\theta +cos\theta)(1+sin\theta +cos\theta)^2}{(sin\theta +cos\theta)^2-1}=2\times\frac{(sin\theta +cos\theta)(1+sin\theta +cos\theta)}{sin\theta +cos\theta -1}\)
令 \(\displaystyle X = sin\theta + cos\theta \)
\(\displaystyle \frac{S_1}{S_2}= 2\times \frac{X^2+X}{X-1} = 2\times (X-1+\frac{2}{X-1}+3)\)
又\(\displaystyle \theta 是銳角,1\leq X \leq\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \theta = \sqrt{2} 時(最接近X-1 = \frac{2}{X-1}),有最小值 8+6\sqrt{2} \)
有錯誤請指正
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本帖最後由 紫月 於 2011-6-14 10:21 PM 編輯
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