第5題
如果覺得三維空間不易想像，可用向量幫助解題。
向量u 在非0向量v 上的投影長 = |向量u．向量v | / |向量v |
以點 A 為原點建立三維坐標，三個鄰角分別為 B (10, 0, 0)，C (0, 10, 0)，D (0, 0, 10)，其距離地平面分別為 10，11，12
令 A 在地平面之 投影點為 A'，向量 A'A = (a, b, c)，|A'A| = √(a²+b²+c²) = h (即所求)
向量 A'B = (a, b, c) + (10, 0, 0) = (a+10, b, c)，其在向量 A'A (a, b, c) 上的投影長 = 10，故:
( a(a+10) + b² + c² ) / h = 10 (因兩向量夾銳角，可去掉絕對值)
10a + a² + b² + c²= 10h
10a = 10h - h² ...(1)，同理:
10b = 11h - h² ...(2)
10c = 12h - h² ...(3)
(1)² + (2)² + (3)²
100h² = (10h - h²)² + (11h - h²)² + (12h - h²)²
100 = (10 - h)² + (11 - h)² + (12 - h)²
h = (33 - √294) / 3 = 11 - 7√6/3
(另一根 >11，不合)
[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-11-1 07:04 PM 編輯 ]
