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4.
已知曲線\(f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5\)在\(x=s\)與\(x=t\)(其中\(s\ne t\))時的切線重合，求\(|\;s-t|\;=\)[u] [/u]
將以 \((s, f(s))\) 為切點的切線方程式 \(y-f(s) = f\,'(s) (x-s)\)
帶入 \(y=f(x)\) 可得 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\)
因為相切，可知 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 有 \(x=s\) 的重根，
同理，\(f(x)-f(t)-f\,'(t)(x-t)=0\) 有 \(x=t\) 的重根，
因為以 \((s, f(s))\) 為切點的切線與以 \((t, f(t))\) 為切點的切線相同，
所以 \(y-f(s) = f\,'(s) (x-s)\) 與 \(y-f(t) = f\,'(t) (x-t)\) 相同，
可知 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 有 \(x=s\) 的重根，也有 \(x=t\) 的重根，
又因為 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 為\(x\) 的四次方程式，且 \(s\neq t\)，
因此 \(f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=0\) 有 \(x=t\) 二重根與 \(x=s\) 的二重根
\(\Rightarrow f(x)-f(s)-f\,'(s)(x-s)=(x-t)^2(x-s)^2\)
後面續原 #10 回覆。
