關於無窮級數的歛散性,我只記得兩件事"
(1)跟\( \frac{1}{n^p} \)比較,在p>1的時候收斂
(2)如果是交錯級數,只要\( a_k \rightarrow 0 \),那麼級數就收斂
所以可以先判斷出選項(2)是收歛的
選項(1)
因為\( \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \),所以從某項之後,會有
\(\displaystyle n^{1+\frac{1}{n}}<2n \)
也就是\(\displaystyle \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}>\frac{1}{2n} \)
但是\(\displaystyle \Sigma \frac{1}{2n} \)發散,所以此級數發散。
選項(3)
在n>10的時候,會有\(\displaystyle (\ln{n})^n>2^n>n \)
所以\(\displaystyle \frac{1}{n(\ln{n})^n}<\frac{1}{n^2} \)
所以收斂
選項(4)
因為\(\displaystyle \tan^{-1}{\frac{1}{n^2+n+1}}=\tan^{-1}{\frac{1}{n}}-\tan^{-1}{\frac{1}{n+1}} \)
分項對消後知其收斂
或者是參考教授的回答
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1511051510750
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本帖最後由 老王 於 2011-5-20 03:22 PM 編輯 ]