填充7

一開始是用餘弦去做，想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺，底下用中線定理來寫:

由費馬點結論知道，BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有
\(\displaystyle BG^2+CG^2=2(GM^2+BM^2) \)
兩式相減即得

填充2
與(5,0),(-5,0)成直角的點在以這兩點為直徑的圓上，
內部的點就與這兩點成鈍角


計算1
\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19} \)

而\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^{19} \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)......(*)

且\(\displaystyle \cos \frac{2k\pi}{19}=\cos \frac{(38-2k)\pi}{19} \)

所以從(*)式可以變成
\(\displaystyle 1+2\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)

故\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=-\frac{1}{2} \)

引用:

原帖由 hua77825 於 2011-5-11 11:15 AM 發表
請問一下老王老師

相減完應該是

BF^2 -  CG^2  = 2(FM^2 -GM^2)
                         =  2 * 18 * 4

接下來該怎麼繼續做呢，感謝。

BF=BA，CG=CA
所以BF^2-CG^2=BA^2-CA^2=BC^2
接著開根號就可以了

引用:

原帖由 waitpub 於 2011-5-11 08:17 PM 發表
再請教一下王老師，對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!

解釋BG=CF
看圖吧

引用:

原帖由 mandy 於 2011-5-11 11:04 PM 發表
請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
                              sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ?

由\(\displaystyle \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \)
\(\displaystyle -\cos \frac{\pi}{19}=\cos \frac{18\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{3\pi}{19}=\cos \frac{16\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{5\pi}{19}=\cos \frac{14\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{7\pi}{19}=\cos \frac{12\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{9\pi}{19}=\cos \frac{10\pi}{19} \)

另外
考慮\(\displaystyle z^{19}=1 \)的19個根，
由根與係數關係知道這19個根之和為0，
那麼實部之和也是0

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-14 11:52 AM 發表
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\)，

然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\)，

再來算出體積為 ...

因為之前寫的東西沒有留下來，所以又重做一遍......
前面部分跟瑋岳老師相同，不同的是
令P點坐標為 \( (p,q) \)
有 \(\displaystyle p^2=\frac{1}{1-a} \)，且\(\displaystyle 0<p^2<1 \)

也就是\(\displaystyle a=\frac{p^2-1}{p^2} \)

積分出來的式子為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{15}p(p^2-1)^2 \)

因為\(\displaystyle (1-p^2)+p^2=1 \)
所以
\(\displaystyle \frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+\frac{1-p^2}{4}+p^2 \ge 5\sqrt[5]{\frac{1}{256}p^2(1-p^2)^4} \)

\(\displaystyle p^2(1-p^2)^4 \le \frac{256}{3125} \)

\(\displaystyle p(1-p^2)^2 \le \frac{16}{25\sqrt{5}} \)



另外，填充第5題，
注意到平面BEHC包函BH且與FG平行，
所以只要求G到CH的距離就是答案。