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100文華高中

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100文華高中

填充題,見附加檔案。


計算題

第一題:如圖,設 \(O\) 為原點,在 \(x^2+y^2=1\) 且 \(y>0\) 上半圓的圓周上有動點 \(B\) ,\(A(2,0)\),\(C\) 為第一象限的點,\(\triangle ABC\) 是等腰三角形,且 \(\angle BAC=90^\circ\),

    試問當 \(B\) 的點坐標為何時, \(\overline{OC}\) 會有最大值。 註:圖床已倒,請看後續回覆有圖。




    參考答案:\(\displaystyle B(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\)


第二題:敘述並證明「微積分基本定理」。

參考答案:詳見~維基百科



註:感謝 yungju 老師幫忙補圖!

附件

100文華高中.pdf (276.38 KB)

2011-5-2 09:54, 下載次數: 6168

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第 12 題小弟提供另一種作法。

第 12 題:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1)^5\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^n (2k)^5 + \sum_{k=1}^n \left(-5(2k)^4+10(2k^3)-10(2k)^2+5(2k)-1\right)\)

\(\displaystyle =32\sum_{k=1}^n k^5+O(n^5)\)

\(\displaystyle =32\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)+O(n^5)\)

\(\displaystyle =\frac{32}{6}n^6+O(n^5)\)  (當 \(n\to\infty\) )

所以,\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)^5}{n^6}=\frac{16}{3}.\)




註:Big-O 定義請見 http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

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第 7,8 題用旋轉跟平移(善用轉軸不變量解題速度較快),

第 7,8,9 題的解法,可見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2469 當中 nanage 老師的回覆之中的解題。

第 9 題是常見考古題,在 https://math.pro/db/thread-156-1-1.html 也有用積分的解法(與 thepiano 老師的解題方法一樣)。

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回復 36# natureling 的帖子

若四次多項式方程式 \(f(x)=0\) 的四個根為 \(a,b,c,d\),則

令 \(\displaystyle f(x)=k\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\),其中 \(k\neq0\),

\(\Rightarrow f\, '(x)=k\Bigg[\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)

      \(+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\Bigg]\)

因此,

\(\displaystyle\frac{f\, '(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}\)。

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回復 38# Jacob 的帖子

第 13 題

解答:

令 \(\displaystyle h(x)=\int_0^x f(t) dt\),則

\(h(x)-h(x-1)=x^2\)

所以,

\(\displaystyle h(x)=h(0)+\left(h(1)-h(0)\right)+\left(h(2)-h(1)\right)+\cdots+\left(h(x)-h(x-1)\right)\)

  \(\displaystyle =0+1^2+2^2+\cdots+x^2\)

  \(\displaystyle =\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

  \(\displaystyle =\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\)

故,

\(\displaystyle f(x)=\frac{d}{dx}h(x)=x^2+x+\frac{1}{6}\)

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上方解法有 bug(有興趣的可以想想看在哪裡),
用來猜出填充題的答案尚可~但其實有點問題~:P
小弟目前沒想到更好的解法~:P

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回復 42# nanpolend 的帖子

利用複數,作下列三步驟

1. 平移到以 \(2+0i\) 為新原點,

2. 以原點為中心將點坐標逆時針旋轉 \(-90^\circ\),即將複數乘上 \(\cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ)=-i,\)

3. 平移到以 \(-2+0i\) 為新的原點。

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