設 \(x,y\) 為實數，且 \(-1\le x\le 3,-3\le y\le 2\)，求 \(xy-x+3y+1\) 最大值與最小值？
【錯誤解】\(-9\le xy\le 6\)，\(-3\le -x\le 1\)，\(-9\le 3y\le 6\)
\(\Rightarrow -21\le xy-x+3y\le 13\)
\(\Rightarrow -20\le xy-x+3y+1\le 14\)
請問作法哪個地方不正確？
正確答案：最大值 \(10\) 最小值 \(-20\)
※ 錯誤解法的問題所在：
觀察 \(xy-x+3y+1\) 的「上界」（14） 的等號要成立的條件，
在 \(-9\le xy\le 6\) 這一段是當 \(x=3,y=2\) 時，
在 \(-3\le -x\le 1\) 這一段是當 \(x=-1\) 時，
在 \(-9\le 3y\le 6\) 這一段是當 \(y=2\) 時，
可知，這三個條件的等號不會同時成立，所以以上面方法找出來的「上界」（14）不會是最大值
正確做法：
\(xy-x+3y+1=(x+3)(y-1)+4\)
因為 \(-1\le x\le 3\)，所以 \(2\le x+3\le 6\)，
因為 \(-3\le y\le 2\)，所以 \(-4\le y-1\le 1\)，
因此，\(-24 \le (x+3)(y-1)\le 6\Rightarrow -20\le (x+3)(y-1)+4\le 10\)
其中，當 \(x=3,y=2\) 時，\(xy-x+3y+1=10\) 為最大值。
當 \(x=3,y=-3\) 時，\(xy-x+3y+1=-20\) 為最小值。
