求最大值最小值,請問作法哪個地方出錯?謝謝!!

設 \(x,y\) 為實數，且 \(-1\le x\le 3,-3\le y\le 2\)，求 \(xy-x+3y+1\) 最大值與最小值？

【錯誤解】\(-9\le xy\le 6\)，\(-3\le -x\le 1\)，\(-9\le 3y\le 6\)

　　　　　\(\Rightarrow -21\le xy-x+3y\le 13\)

　　　　　\(\Rightarrow -20\le xy-x+3y+1\le 14\)

請問作法哪個地方不正確？

正確答案：最大值 \(10\)   最小值 \(-20\)



※　錯誤解法的問題所在：


　　觀察 \(xy-x+3y+1\) 的「上界」（14） 的等號要成立的條件，

　　在 \(-9\le xy\le 6\) 這一段是當 \(x=3,y=2\) 時，

　　在 \(-3\le -x\le 1\) 這一段是當 \(x=-1\) 時，

　　在 \(-9\le 3y\le 6\) 這一段是當 \(y=2\) 時，

　　可知，這三個條件的等號不會同時成立，所以以上面方法找出來的「上界」（14）不會是最大值




正確做法：


　　\(xy-x+3y+1=(x+3)(y-1)+4\)


　　因為 \(-1\le x\le 3\)，所以 \(2\le x+3\le 6\)，


　　因為 \(-3\le y\le 2\)，所以 \(-4\le y-1\le 1\)，


　　因此，\(-24 \le (x+3)(y-1)\le 6\Rightarrow -20\le (x+3)(y-1)+4\le 10\)

　　其中，當 \(x=3,y=2\) 時，\(xy-x+3y+1=10\) 為最大值。

　　　　　當 \(x=3,y=-3\) 時，\(xy-x+3y+1=-20\) 為最小值。

引用:

原帖由 thankyou 於 2011-4-18 09:48 PM 發表
求最大值最小值,請問作法哪個地方出錯?謝謝!!

題目:x,y為實數.-1<=x<=3 ,-3<=y<=2 ,求x*y-x+3y+1的最大值與最小值

您的方法這樣做不太行,先算x*y的最大值與最小值 (-9<=x*y<=6)-----------------(*1)
再算-x的最大值與最小值(-3<= -x<=-1)--------------------(*2)
與3y的最大值與最小值(-9<=3y<=6)---------------------(*3)
先看後來x*y-y+3y的最大值與最小值
仔細觀察(*1)中與(*3)的最大值有可能用的x都不同
例如(*1)中最大值時,x為3
       (*2)中最大值時,x為1
變成有兩個不同的x
可是所求的x*y-x+3y+1有最大值時,此時x為"一個"特定數
所以那樣做會造成,兩個不同的x在控制

如何避免上述情形?
所求要修改一下
x*y-x+3y+1=x*y-x+3y-3+1+3
=x(y-1)+3(y-1)+4
=(x+3)*(y-1)+4   (這樣x與y均只出現一次)
且 -2<=x+3<=6  ,
     -4<=y-1<=1
-24<=(x+3)*(y-1)<=6
-24+4<=(x+3)*(y-1)+4<=6+4
-20<=(x+3)*(y-1)+4<=10
-20<=x*y-x+3y+1<=10
所以最大值=10,最小值=-20


p.s我印象中這題好像是國中題目?