第7題，設 \(x,y\) 為實數，若 \(x+y=x^2 +y^2\) ，求  \(\displaystyle x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y\)  之最大值？

解答：

令 \(t=x+y\)，則 \(\displaystyle xy=\frac{\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)}{2}=\frac{t^2-t}{2}\)，

一、先求一下 \(t\) 的範圍，

　　（1）：\(t=x^2+y^2\geq0\)

　　（2）：由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \frac{t}{2}\geq\left|\frac{t^2-t}{2}\right|\)，且由（1）的 \(t\geq0\)，可得 \(0\leq t\leq2\)

　　故，\(0\leq t\leq2\)

二、\(\displaystyle x^3 +y^3+\frac{9}{2}x +\frac{9}{2}y=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\frac{9}{2}\left(x+y\right)=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}+\frac{9t}{2}\)

　　令 \(\displaystyle f(t)=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}+\frac{9t}{2}\)，

　　由 \(f'(t)=0\) 及 \(f''(x)=0\)，找出臨界點，可描繪此一元三次函數的圖形，

　　再由 \(0\leq t\leq2\)，可得當 \(t=2\)時，\(f(t)\) 有最大值為 \(11.\)

第12題，在一圓周上有 \(20\) 個點，將他們兩兩之間接成一弦，任意三條弦之間，除端點外不相交於同一點，請問此時所有的弦共有多少個交點? (不包含圓周上20個點)

解答：任取圓周上的四點，連接之後，可以形成一個圓內的交點，

　　　所以答案是 \(C^{20}_4=4845.\)

第 1 題：設 \(k\) 為實數，若多項式 \(f(x)\) 具有下列性質 \(f(x+k)=f(x)+2k\)，\(f(1)=5\)，則 \(f(x)=\)？

解答：

\(\displaystyle f(x+k)=f(x)+2k\Rightarrow \frac{f(x+k)-f(x)}{(x+k)-x}=2\)

令 \(y=f(x)\) 圖形上兩任意動點為 \(P(x,f(x)), Q(x+k,f(x+k))\)，

則 \(\overline{PQ}\) 斜率恆為 \(2\)，亦即 \(y=f(x)\) 的圖形為直線，

且因為 \(y=f(x)\) 通過 \((1,5)\)，

所以 \(f(x)=2x+3.\)

第 13 題：在 \(100\) 與\(200\) 之間隨機選取一個實數 \(x\) ,如果 \([\sqrt{x}]=12\)，則 \([100\sqrt{x}]=120\) 的機率為何?
( \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數)。

解答：

\(\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169\)，

\(\displaystyle [100\sqrt{x}]\leq 100\sqrt{x}<[100\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 100\sqrt{x}<121\Rightarrow \frac{36}{25}\leq x<\frac{14641}{10000}\)

以上兩者交集為空集合

直接可以看出所求機率為 0 ......

第 13 題（修改版）：在 \(100\) 與 \(200\) 之間隨機選取一個實數 \(x\)，如果 \(\left[\sqrt{x}\right]=12\) ，則 \(\left[10\sqrt{x}\right]=120\)  的機率為何？

解答：

\(\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169\)，

\(\displaystyle [10\sqrt{x}]\leq 10\sqrt{x}<[10\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 10\sqrt{x}<121\Rightarrow 144\leq x<\frac{14641}{100}\)

所求機率\(\displaystyle=P(\left[10\sqrt{x}\right]=120 \Bigg| \left[\sqrt{x}\right]=12)=\frac{\frac{14641}{100}-144}{169-144}=\frac{241}{2500}.\)

第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 \(y=x^2(3-x)\) 相切於第一象限的切點為 \((x_0,y_0)\)，其中 \(x_0>0,y_0>0\)

由 \(\displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2\) 且 \(y_0=x_0^2(3-x_0)\)

可解得 \(\displaystyle x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow f\,'(x_0)=\frac{9}{4}\)

因此，可得 \(L\) 的斜率範圍為 \(\displaystyle(0,\frac{9}{4})\)

另解，

設 \(L\) 的斜率為 \(m\) ，則

\(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)

因為 \(L\) 與 \(y=3x^2-x^3\) 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 \(P,Q\)

因此，\(x^2-3x+m=0\) 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，

可得 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)




(2)

設 \(L\) 的斜率為 \(m\)，其中 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)

令題述之 \(P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)\)，

則 \(\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=3, x_1x_2=m\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{9-4m}\)

\(\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \triangle APQ\mbox{面積}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\left|3m-0\right|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(9-4m)m^2}\)

（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）

因為 \(\displaystyle 0<m<\frac{9}{4}\)，所以 \(9-4m\) 與 \(m\) 恆正，

由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{(9-4m)+2m+2m}{3}\geq\sqrt[3]{4(9-4m)m^2}\Rightarrow (9-4m)m^2\leq\frac{27}{4}\)

因此，\(\displaystyle\triangle APQ\mbox{面積}\leq \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}\)

且當等號成立時，\(\displaystyle 9-4m=2m\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)，

此時，可得 \(\displaystyle\triangle APQ\) 的最大面積為 \(\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{4}\)