正四面體 \(ABCD\) 中，邊長為 \(a\)，
則 \(ED\) 是正三角形 \(BCD\) 的中線，其長可求得，
\(F\) 為 \(A\) 投影至正三角形 \(BCD\) 的投影點，
因為 \(AB=AC=AD\)，所以 \(F\) 亦為正三角形 \(BCD\) 的重心，
所以 \(EF\) 與 \(FD\) 可得知，
在直角三角形 \(AFD\) 中，由畢氏定理，可得 \(AF\) 長，
令 \(AO=R\)，則 \(OF=AF-R\)，
在直角三角形 \(OEF\) 中，由畢氏定理，可得 \(OE^2=OF^2+EF^2\)，
可求得外接圓半徑 \(R.\)
而內切圓半徑就是 \(OF=AF-R.\)
如圖，設 \(ABCDEF\) 為正八面體，且其邊長為 \(a\)，
則其外接圓半徑即為正方形 \(BCDE\) 的對角線長之半，
而上圖中，設 \(G\) 為 \(BC\) 之中點，\(O\) 為正方形 \(BCDE\) 對角線的交點，
在直角三角形 \(GOF\) 中，可求得其三邊長，
再求出 \(O\) 至斜邊 \(GF\) 的垂直距離即為內切圓半徑。
