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99苗栗高中

2.設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)

除了正規的方法外,提供另一種方法
\( f(x)=x^3+2x^2+3x+4 \) , \( f'(x)=3x^2+4x+3 \)
利用綜合除法計算\( \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \)

\( \matrix{
3 & 4 & 3 &  &  &  &  &  \cr
 & -6& 4 & 4 & 4 &-36&  &  \cr
 &  & -9& 6 & 6 & 6 &-54&  \cr
 &  &  &-12& 8 & 8 & 8 &-72\cr
-& -& -& -& -& -& -& -\cr
3 & -2& -2& -2& 18&-22&...&...} \Bigg\vert\;
\matrix{-2 \cr -3 \cr -4 \cr \cr } \)

底下的答案剛好是\( \alpha^n+\beta^n+\gamma^n \),n從0到5次方的答案

2011.4.17補充
令\( a,b,c \)為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根,求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)\( -33 \) (B)33 (C)22 (D)\( -22 \)
(98金門縣國中聯招)

102.6.19補充
方程式\( x^3-x^2+2x-1=0 \)的三根為\( a,b,c \),則\( a^6+b^6+c^6= \)
(102師大附中,https://math.pro/db/thread-1653-1-1.html)

102.7.14補充
若\( \alpha,\beta,\gamma \)為\( x^3-2x+3=0 \)的三根,則\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4= \)
(102台中二中代理,https://math.pro/db/thread-1691-1-1.html)

正統解法http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2455

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