第 6 題：空間中兩直線 \(\displaystyle L_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2},\,L_2:\frac{x-3}{6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{3}\) 所夾之鈍角角平分線方程式為______________。


解答：

由題目所給之方程式，馬上可以看出兩直線通過定點 \((3,-2,1)\)，且兩直線之方向向量為 \(\vec{n_1}=(2,-1,2),\vec{n_2}=(6,2,3)\)，

由於 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\)，所以 \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾銳夾角，

將其中一個調整至相反方向，令 \(\vec{m_1}=-\vec{n_1}=(-2,1,-2)\)，

其角平分線的向量為 \(\left|\vec{m_1}\right|\vec{n_2}+\left|\vec{n_2}\right|\vec{m_1}=(4,13,-5)\)，

故，\(L_1\) 與 \(L_2\) 的鈍角角平分線方程式為 \(\displaystyle\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{13}=\frac{z-1}{-5}.\)

引用:

原帖由 addcinabo 於 2010-9-21 09:13 AM 發表
第二題的解法超酷的耶，請問有什麼知識背景嗎?

\(\displaystyle f(x)=\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)\Rightarrow f\,'(x)=\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)+\left(x-\alpha\right)\left(x-\gamma\right)+\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\)

因此，

\(\displaystyle\frac{f\,'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha}+\frac{1}{x-\beta}+\frac{1}{x-\gamma}\)

　　\(\displaystyle=\frac{1}{x}\left(1+\frac{\alpha}{x}+\frac{\alpha^2}{x^2}+\cdots\right)+\frac{1}{x}\left(1+\frac{\beta}{x}+\frac{\beta^2}{x^2}+\cdots\right)+\frac{1}{x}\left(1+\frac{\gamma}{x}+\frac{\gamma^2}{x^2}+\cdots\right)\)

　　\(\displaystyle=3\cdot x^{-1}+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)x^{-2}+\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)x^{-3}+\cdots\)


其中，幾何級數的收斂條件是 \(\displaystyle\left|\frac{\alpha}{x}\right|<1,\left|\frac{\beta}{x}\right|<1,\left|\frac{\gamma}{x}\right|<1\)。

若兩非零向量  \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾角為 \(\theta\)（其中 \(0^\circ\leq\theta\leq 180^\circ\) ），

由內積定義 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=\left|\vec{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n_2}\right|\cdot\cos\theta\)，

可以知道

　　　　\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\Leftrightarrow\cos\theta>0\Leftrightarrow 0^\circ<\theta<90^\circ\)

　　　　\(\Leftrightarrow \theta\) 為銳角。