我想請問老師您第6題第(2)小題和第8題
謝謝

第 6 題 (2)：當方程式 \(\left|x^2-2\left|x\right|\right|=kx+1\) 恰有 \(4\) 個相異實根時，

\(k\) 值之範圍為何？


解答：

\(\left|x^2-2\left|x\right|\right|=kx+1\) 恰有四個相異實根

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc}y=\left|x^2-2\left|x\right|\right|\\y=kx+1\end{array}\right.\) 恰有四個交點

其中 \(y=kx+1\) 是通過 \(\left(0,1\right)\) 且斜率為 \(k\) 的直線

所以，畫出 \(y=\left|x^2-2\left|x\right|\right|\) 的圖形之後，



看通過 \(\left(0,1\right)\) 的直線中，當斜率為何時恰與上述圖形交於相異四點，

可得 \(\displaystyle-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2}.\)




第 8 題：求經過 \((-1,-2),\,(0,4),\,(2,1),\,(4,-1)\) 之等軸雙曲線方程式。

解答：設所求方程式為 \(x^2+b xy-y^2+dx+ey+f=0\)，將題目所給的四點帶入，可解得 \(b,d,e,f\) 之值。

思考過程：

等軸雙曲線的兩漸近線必互相垂直；反之，若雙曲線的兩漸近線互相垂直，則其為等軸雙曲線。

若等軸雙曲線的一漸近線為 \(a_1x+b_1y+k_1=0\)，則另一漸近線必為 \(b_1x-a_1y+k_2=0\)，

則雙曲線方程式為 \(\left(a_1x+b_1y+k_1\right)\left(b_1x-a_1y+k_2\right)=c\)，其中 \(c\) 為非零實數，

乘開之後可得 \(x^2\) 與 \(y^2\) 的係數必〝異號〞或同時為 \(0\)（也就是 \(a_1\) 或 \(b_1\) 其中有一個為 \(0\) 啦）。

所以我們可以假設等軸雙曲線的方程式為 \(ax^2+bxy-ay^2+dx+ey+f=0\)，

然後將四點帶入，解方程式時將 \(a,b,d,e\) 都用 \(f\) 表示，寫出方程式後，除掉 \(f.\)

或是，直接假設等軸雙曲線的方程式為 \(x^2+bxy-y^2+dx+ey+f=0\)，

將四點帶入後，解的出來就ＯＫ，

解不出來就是兩漸近線分別平行 \(x\) 軸與 \(y\) 軸，此時再假設等軸雙曲線方程式為 \(xy+dx+ey+f=0\) 即可。


（除了這樣解釋，當然您也可以透過標準化的等軸雙曲線，

經過旋轉、平移後，再來解釋 \(x^2\) 與 \(y^2\) 項的係數和\(=0\)，也可以。）

感謝weiye大在進修之餘抽空回應此問題
但是我想跟提問的人講
本區板主bugmens大曾經強力推薦全教會舊論壇搜尋模式
有關於第8題的解題
亦可參考h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47986(連結已失效)
或是h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48709(連結已失效)

若需要搜尋的話
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/search.php(連結已失效)
動手找資料,別有一番樂趣!

請教第4題，感謝。

4.
\(n\)為自然數，\(a>0\)，\(b>0\)，試證：\( \displaystyle \left( \frac{a+b}{2} \right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2} \)。

二項式定理\( \displaystyle \left( \frac{A}{2}+\frac{B}{2} \right)^n=\left( \frac{A}{2} \right)^n+\ldots+\left( \frac{B}{2} \right)^n <\frac{A^n}{2}+\frac{B^n}{2}\)
當\(n=1\)時"="成立

第 4 題
Jensen's inequality

E [ g(X) ] >=  g ( E[x] ) if  g convex
Let  L(X)=aX+b , then E [ g(X) ] >=E [ L(X) ] = E[aX+b] = a*E[x]+b = L(E[X]) = g(E[X])
這是找到的Jensen's inequality，但這跟第4題有甚麼關係？

新增，後來再找到一些資料，叫做Jensen's Inequality and its Applications，得證了。
x1,x2,...,xn. Let a1,a2,...an>=0
E [ g(X) ] = E [ g(x1)+g(x2)+...+g(xn)] = a1*g(x1)+a2*g(x2)+...+an*g(xn) / a1+a2+...+an
g [ E(X) ] = g [ a1*x1+a2*x2+...+an*xn / a1+a2+...+an ]
在第4題中，n=2，a1*g(x1)+a2*g(x2) / a1+a2  > g [ a1*x1+a2*x2 / a1+a2 ]
g(x)=x^n ， a1=a2=1 ， x1=a ， x2=b
(x^n + y^n) / 2  > ( a+b / 2 )^n ，得證。

(A/ 2+B/ 2)^n = C(n,n)*(A/ 2)^n + ..... +C(n,0) *(B/ 2)^n
C(n,n)*(A/ 2)^n  < A^n / 2 OK!
C(n,n)*(B/ 2)^n  < B^n / 2 OK!
但中間項如何比？

感謝 thepiano 老師的提示。

題目原式:\( \displaystyle \left[ \frac{(a+b)}{2} \right]^n \le \frac{a^n+b^n}{2} \)(\(a > 0\)，\(b > 0\))  → 其實只要\(n \ge 1\) 即可成立。

心得:

如題目給 n ≥ 1，可用:
1. Jensen 不等式
2. 冪平均不等式

如題目給 n ∈ N (如本題)，另可用:
3. 數學歸納法
4. 柯西不等式 (推廣型)
5. 算幾不等式 (∵ 5 ⇒ 4)
6. 排序不等式

感謝，增廣見識了。